Cargas estão distribuídas com densidade constante
sobre uma esfera de raio
. Levando em conta que somente cargas internas produzem campo elétrico não nulo e que para externo a uma distribuição cargas dessa natureza vai paracer que ela está toda no centro da esfera, prove que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que provemos a expressão do campo elétrico
em dois casos:
- Há uma distribuição de cargas com densidade volumétrica constante
sobre uma esfera de raio . - Devemos considerar que somente as cargas internas à superfície gaussiana contribuem para o campo elétrico nessa superfície. Para pontos externos à esfera, a distribuição se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
- A distância do ponto considerado até a origem (centro da esfera) é
.
O que se pede:
- Mostrar que, para
,
e que, para
,
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): usaremos uma superfície gaussiana esférica centrada na mesma origem da distribuição, por causa da simetria esférica. Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar — a Lei de Gauss — e por que ela é apropriada aqui.
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida por essa superfície dividida por
. Em fórmula:
Explicando termos:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora). -
é a carga total contida no volume fechado pela superfície. -
é a constante elétrica do vácuo.
Por que podemos usar essa lei aqui:
- A distribuição é esfericamente simétrica (densidade constante e esfera centrada na origem). Isso implica que, na superfície gaussiana esférica de raio
centrada na origem, o campo tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial (direção ). Assim o produto escalar fica simples e a integral de superfície reduz-se a multiplicado pela área da esfera.
Vou agora aplicar a Lei de Gauss em dois casos distintos: quando a superfície gaussiana está dentro da esfera carregada (
) e quando está fora (
).
Passo 3
Caso 1:
(ponto dentro da esfera). Primeiro precisamos calcular a carga contida na esfera de raio
(a carga envolvida pela superfície gaussiana).
A densidade volumétrica é
(constante), então a carga encerrada é
Para uma esfera de raio
, o elemento de volume em coordenadas esféricas (integrando apenas a parte radial porque a densidade é constante) é
, onde
é a variável de integração radial. Assim
Agora calculamos a integral passo a passo:
Portanto
Passo 4
Ainda no caso
, aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é a esfera de raio
. Pelo argumento de simetria,
é radial e tem mesma magnitude em toda a esfera, e
. Então o fluxo é
Pelo enunciado da Lei de Gauss,
Substituímos
:
Cancelamos
de ambos os lados e simplificamos por
:
Como o campo é radial, escrevemos a forma vetorial final para
:
Explicação física rápida: dentro da esfera a carga contida cresce como
(volume), mas o fluxo disponível cresce como a área
; portanto a intensidade
cresce linearmente com
.
Passo 5
Caso 2:
(ponto fora da esfera). Aqui a superfície gaussiana de raio
envolve toda a esfera carregada. A carga encerrada é simplesmente a carga total da esfera de raio
. Calculamos essa carga total
da mesma maneira (substituindo
por
no resultado anterior):
Aplicando a Lei de Gauss para a esfera de raio
(com
), novamente o fluxo é
e igual a
:
Cancelando
e isolando
:
Em forma vetorial, para
:
Observação física: para
o campo tem a dependência
, exatamente como o campo de uma carga pontual
no centro, com
, mostrando a propriedade mencionada no enunciado.
Passo 6
Verificação de continuidade em
: calculando ambas expressões em
,
- interior:
, - exterior:
.
Portanto as duas expressões coincidem em, o que garante que o campo é contínuo na superfície (não há superfície com carga superficial extra neste enunciado).