Cargas estão distribuídas com densidade constante \rho sobre uma esfera de raio a. Levando em conta que somente cargas internas produzem campo elétrico não nulo e que para externo a uma distribuição cargas dessa natureza vai paracer que ela está toda no centro da esfera, prove que:
\vec{E}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho r}{3 \epsilon_{0}} \hat{r}, & \text { se } r \leq a \\ \frac{\rho a^{3}}{3 \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r}, & \text { se } r \geq a \end{array} \text { onde } r\right. \text { é a distância da origem ao ponto considerado. }éâ

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que provemos a expressão do campo elétrico \vec{E} em dois casos:
  • Há uma distribuição de cargas com densidade volumétrica constante \rho sobre uma esfera de raio a.
  • Devemos considerar que somente as cargas internas à superfície gaussiana contribuem para o campo elétrico nessa superfície. Para pontos externos à esfera, a distribuição se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
  • A distância do ponto considerado até a origem (centro da esfera) é r.
O que se pede:
  • Mostrar que, para r \le a,
\vec{E}=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\,\hat{r},
e que, para r \ge a,
\vec{E}=\frac{\rho a^{3}}{3\epsilon_0 r^{2}}\,\hat{r}.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): usaremos uma superfície gaussiana esférica centrada na mesma origem da distribuição, por causa da simetria esférica. Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar — a Lei de Gauss — e por que ela é apropriada aqui.
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida por essa superfície dividida por \epsilon_0. Em fórmula:
\oint_{\text{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
Explicando termos:
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\vec{A} é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora).
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume fechado pela superfície.
  • \epsilon_0 é a constante elétrica do vácuo.
Por que podemos usar essa lei aqui:
  • A distribuição é esfericamente simétrica (densidade constante e esfera centrada na origem). Isso implica que, na superfície gaussiana esférica de raio r centrada na origem, o campo tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial (direção \hat{r}). Assim o produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{A} fica simples e a integral de superfície reduz-se a E(r) multiplicado pela área da esfera.
Vou agora aplicar a Lei de Gauss em dois casos distintos: quando a superfície gaussiana está dentro da esfera carregada ( r\le a) e quando está fora ( r\ge a).

Passo 3

Caso 1: r \le a (ponto dentro da esfera). Primeiro precisamos calcular a carga contida na esfera de raio r (a carga envolvida pela superfície gaussiana).
A densidade volumétrica é \rho (constante), então a carga encerrada é
Q_{\text{enc}}=\int_{V} \rho\, dV.
Para uma esfera de raio r, o elemento de volume em coordenadas esféricas (integrando apenas a parte radial porque a densidade é constante) é dV = 4\pi r'^{2} dr', onde r' é a variável de integração radial. Assim
Q_{\text{enc}}=\rho \int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}\,dr'.
Agora calculamos a integral passo a passo:
\int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}\,dr' = 4\pi \left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{0}^{r} = \frac{4\pi r^{3}}{3}.
Portanto
Q_{\text{enc}}=\rho \cdot \frac{4\pi r^{3}}{3}.

Passo 4

Ainda no caso r\le a, aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é a esfera de raio r. Pelo argumento de simetria, \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r} é radial e tem mesma magnitude em toda a esfera, e d\vec{A}=\hat{r}\,dA. Então o fluxo é
\oint_{\text{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(r) \oint_{\text{S}} dA = E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Pelo enunciado da Lei de Gauss,
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
Substituímos Q_{\text{enc}}=\rho\frac{4\pi r^{3}}{3}:
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{1}{\epsilon_0}\left(\rho\frac{4\pi r^{3}}{3}\right).
Cancelamos 4\pi de ambos os lados e simplificamos por r^{2}:
E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}.
Como o campo é radial, escrevemos a forma vetorial final para r\le a:
\vec{E}=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\,\hat{r}.
Explicação física rápida: dentro da esfera a carga contida cresce como r^{3} (volume), mas o fluxo disponível cresce como a área r^{2}; portanto a intensidade E cresce linearmente com r.

Passo 5

Caso 2: r \ge a (ponto fora da esfera). Aqui a superfície gaussiana de raio r envolve toda a esfera carregada. A carga encerrada é simplesmente a carga total da esfera de raio a. Calculamos essa carga total Q da mesma maneira (substituindo r por a no resultado anterior):
Q_{\text{enc}}=Q=\rho \cdot \frac{4\pi a^{3}}{3}.
Aplicando a Lei de Gauss para a esfera de raio r (com r\ge a), novamente o fluxo é E(r)\cdot 4\pi r^{2} e igual a Q/\epsilon_0:
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{1}{\epsilon_0}\left(\rho \frac{4\pi a^{3}}{3}\right).
Cancelando 4\pi e isolando E(r):
E(r) = \frac{\rho a^{3}}{3\epsilon_0 r^{2}}.
Em forma vetorial, para r\ge a:
\vec{E}=\frac{\rho a^{3}}{3\epsilon_0 r^{2}}\,\hat{r}.
Observação física: para r\ge a o campo tem a dependência \propto 1/r^{2}, exatamente como o campo de uma carga pontual Q no centro, com Q=\rho\frac{4\pi a^{3}}{3}, mostrando a propriedade mencionada no enunciado.

Passo 6

Verificação de continuidade em r=a: calculando ambas expressões em r=a,
  • interior: \displaystyle \vec{E}=\frac{\rho a}{3\epsilon_0}\,\hat{r},
  • exterior: \displaystyle \vec{E}=\frac{\rho a^{3}}{3\epsilon_0 a^{2}}\,\hat{r}=\frac{\rho a}{3\epsilon_0}\,\hat{r}.
    Portanto as duas expressões coincidem em r=a, o que garante que o campo é contínuo na superfície (não há superfície com carga superficial extra neste enunciado).

Resposta

\vec{E}=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\rho r}{3 \epsilon_{0}}\,\hat{r}, & \text{se } r \leq a \\[6pt] \displaystyle \frac{\rho a^{3}}{3 \epsilon_{0} r^{2}}\,\hat{r}, & \text{se } r \geq a \end{array}\right.]

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