• Exemplo: Considere a integral \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
Simples, temos:
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a Regra 1 / 3 de Simpson Repetida.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
  • Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular dessa técnica numérica. quantas subdivisões são necessárias para atingir um
    c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a 10^{-3} ?
\mathrm{n}>\sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}}{2880\left|E_{S R}\right|} \max \left|f^{4}\text{(c)}\right|}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede:
    (a) Calcular uma aproximação da integral \displaystyle\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx usando a Regra de Simpson 1/3 repetida com 10 subintervalos.
    (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica (ou seja, um limite superior para o erro) — e, para informação, também calcularei o erro real (diferença entre a aproximação e o valor exato).
    (c) Determinar o número mínimo de subdivisões n tal que o erro seja inferior a 10^{-3}, usando a fórmula fornecida:
    \mathrm{n}>\sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}}{2880\left|E_{S R}\right|}\max\left|f^{(4)}\text{(c)}\right|}
  • Dados importantes (extraídos do enunciado):
    • Função: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
    • Intervalo: [a,b]=[1,7].
    • Número de subintervalos para (a): n=10 (nota: Simpson requer n par, e 10 é par).
    • Para (c): erro alvo |E_{S R}|<10^{-3}, e usar a fórmula dada (que envolve \max|f^{(4)}\text{(c)}| no intervalo).

Passo 2

Calcular o passo (tamanho do subintervalo) h usado pela Regra de Simpson repetida.
  • Fórmula do passo: \displaystyle h=\frac{b-a}{n}.
  • Aplicando aos números: \displaystyle h=\frac{7-1}{10}=\frac{6}{10}=0,6.

Passo 3

Escolher os pontos de amostragem x_i e calcular f(x_i)=1/x_i^{2} em cada ponto. Para Simpson com n=10 temos i=0,1,\dots,10 e x_i=a+i h.
  • Lista dos pontos: \begin{aligned} x_{0}&=1, & x_{1}&=1{,}6, & x_{2}&=2{,}2, & x_{3}&=2{,}8, & x_{4}&=3{,}4,\\\ x_{5}&=4{,}0, & x_{6}&=4{,}6, & x_{7}&=5{,}2, & x_{8}&=5{,}8, & x_{9}&=6{,}4, & x_{10}&=7. \end{aligned}
  • Calcular f(x_i)=1/x_i^{2}. É útil perceber e usar frações exatas quando possível: \begin{aligned} f(x_{0})&=\frac{1}{1^{2}}=1,\\[4pt] f(x_{1})&=\frac{1}{(1{,}6)^{2}}=\frac{1}{2{,}56}=0{,}390625,\\[4pt] f(x_{2})&=\frac{1}{(2{,}2)^{2}}=\frac{1}{4{,}84}=\frac{25}{121}\approx0{,}2066115702,\\[4pt] f(x_{3})&=\frac{1}{(2{,}8)^{2}}=\frac{1}{7{,}84}=\frac{25}{196}\approx0{,}1275510204,\\[4pt] f(x_{4})&=\frac{1}{(3{,}4)^{2}}=\frac{1}{11{,}56}=\frac{25}{289}\approx0{,}0865051903,\\[4pt] f(x_{5})&=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}=0{,}0625,\\[4pt] f(x_{6})&=\frac{1}{(4{,}6)^{2}}=\frac{1}{21{,}16}=\frac{25}{529}\approx0{,}0472651959,\\[4pt] f(x_{7})&=\frac{1}{(5{,}2)^{2}}=\frac{1}{27{,}04}=\frac{25}{676}\approx0{,}0369822485,\\[4pt] f(x_{8})&=\frac{1}{(5{,}8)^{2}}=\frac{1}{33{,}64}=\frac{25}{841}\approx0{,}0297376093,\\[4pt] f(x_{9})&=\frac{1}{(6{,}4)^{2}}=\frac{1}{40{,}96}=\frac{25}{1024}=0{,}0244140625,\\[4pt] f(x_{10})&=\frac{1}{7^{2}}=\frac{1}{49}\approx0{,}0204081633. \end{aligned}]

Passo 4

Montar a soma para a Regra de Simpson composta (fórmula) e calcular termos parciais.
  • Fórmula da Regra de Simpson composta (com passo h e n subintervalos, n par): S=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1}f(x_{i})+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2}f(x_{i})\Bigr).í
  • Calcular somas separadas:
    • Soma dos índices ímpares i=1,3,5,7,9: \sum_{\text{ímpares}}f(x_i)=0{,}390625+0{,}1275510204+0{,}0625+0{,}0369822485+0{,}0244140625\approx0{,}6420723314.í
    • Soma dos índices pares i=2,4,6,8: \sum_{\text{pares}}f(x_i)=0{,}2066115702+0{,}0865051903+0{,}0472651959+0{,}0297376093\approx0{,}3701195658.
  • Agora montar o interior da fórmula: f(x_{0})+f(x_{10}) \approx 1+0{,}0204081633=1{,}0204081633.
4\sum_{\text{ímpares}} \approx 4\cdot0{,}6420723314\approx2{,}5682893256.í
2\sum_{\text{pares}} \approx 2\cdot0{,}3701195658\approx0{,}7402391316.
Soma total dentro dos colchetes:
1{,}0204081633+2{,}5682893256+0{,}7402391316\approx4{,}3289366205.

Passo 5

Calcular a aproximação final S usando h/3 e a soma obtida.
  • Lembre que h/3=0{,}6/3=0{,}2.
  • Portanto: S=\frac{h}{3}\cdot(\text{soma})\approx0{,}2\cdot4{,}3289366205\approx0{,}8657873241.
  • Conclusão parcial: a aproximação pela Regra de Simpson repetida com n=10 é \boxed{S\approx0{,}8657873241.}

Passo 6

Calcular o valor exato da integral para comparar e obter o erro real.
  • Integrar analiticamente: \int x^{-2}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C.
  • Avaliando entre 1 e 7: \int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{7}=-\frac{1}{7}-\Bigl(-\frac{1}{1}\Bigr)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}\approx0{,}8571428571.

Passo 7

Calcular o erro real (diferença entre a aproximação e o valor exato).
  • Erro real: E_{\text{real}}=S-\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx\approx0{,}8657873241-0{,}8571428571\approx0{,}0086444670.
  • Interpretação: a aproximação de Simpson com n=10 superestimou o valor exato em cerca de 8{,}64\times10^{-3}.

Passo 8

Derivar f^{(4)}(x) e determinar \max_{[1,7]}|f^{(4)}(x)| (necessário para o estimador de erro teórico).
  • A função é f(x)=x^{-2}. Vamos derivar passo a passo: f(x)=x^{-2},
f'(x)=-2x^{-3},
f''(x)=6x^{-4},
f^{(3)}(x)=-24x^{-5},
f^{(4)}(x)=120x^{-6}.
  • No intervalo [1,7] temos x^{-6} decrescente quando x cresce, logo o máximo de f^{(4)}(x)=120x^{-6} ocorre em x=1: \max_{x\in[1,7]}|f^{(4)}(x)|=f^{(4)}(1)=120.

Passo 9

Calcular a estimativa (limite superior) do erro para a Regra de Simpson composta e interpretar o resultado.
  • Fórmula padrão do limite de erro para Simpson composta (com passo h e n subintervalos, n par) é: |E_{S}|\le\frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.(explicação rápida: essa fórmula resulta da soma dos termos de erro de cada painel de Simpson; h é o comprimento de cada subintervalo.)
  • Aplicando os valores: b-a=6, h=0{,}6, \max|f^{(4)}|=120. h^{4}=(0{,}6)^{4}=0{,}1296.
\frac{b-a}{180}=\frac{6}{180}=\frac{1}{30}\approx0{,}0333333333.
|E_{S}|\le\frac{6}{180}\cdot0{,}1296\cdot120.
Calcular passo a passo:
\frac{6}{180}\cdot0{,}1296}=0{,}00432,
0{,}00432\cdot120=0{,}5184.
  • Logo o limite teórico (estimativa conservadora) é \boxed{|E_{S}|\le0{,}5184.}
  • Observação importante (didática e prática): esse limite é um bound muito conservador (grande) — é comum o estimador teórico superestimar muito o erro real. O erro real calculado no Passo 7 foi \approx0{,}0086444670, bem menor que 0{,}5184. O estimador garante (com hipóteses) que o erro não passa daquele número, mas na prática pode ser muito mais frouxo.

Passo 10

Resolver a parte (c) usando a fórmula fornecida no enunciado e obter o número mínimo de subdivisões n.
  • A fórmula fornecida é: \mathrm{n}>\sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}}{2880\left|E_{S R}\right|}\max\left|f^{(4)}\text{(c)}\right|}.Aqui:
    • b-a=6.
    • \max|f^{(4)}\text{(c)}|=120 (já calculado).
    • Queremos |E_{S R}|<10^{-3}.
  • Substituindo: \mathrm{n}>\sqrt[4]{\frac{6^{5}}{2880\cdot 10^{-3}}\cdot 120}.Calcular numericamente: 6^{5}=7776.
7776\cdot120=933120.
2880\cdot 10^{-3}=2{,}88.
\frac{933120}{2{,}88}=324000.
\mathrm{n}>\sqrt[4]{324000}.
\sqrt{324000}\approx569{,}20998,\qquad \sqrt{569{,}20998}\approx23{,}857\ldots
Logo
\mathrm{n}>23{,}857\ldots
  • Como n precisa ser um inteiro e a Regra de Simpson exige n par, tomamos o menor inteiro par maior que 23{,}857, que é 24.
  • Portanto o número mínimo de subdivisões (segundo a fórmula fornecida) é \boxed{n_{\min}=24.}

Passo 11

Pequeno resumo final e incentivo (pra manter o ânimo).
  • Resultado da aproximação com Simpson n=10: S\approx0{,}8657873241.
  • Valor exato: \dfrac{6}{7}\approx0{,}8571428571.
  • Erro real: \approx0{,}0086444670.
  • Estimativa teórica pelo bound padrão de Simpson (conservadora): \le0{,}5184.
  • Usando a fórmula fornecida para garantir erro < 10^{-3}, obtemos n_{\min}=24 (número par e inteiro).
  • Você já foi longe: a parte chata são as somas, mas a ideia é sempre a mesma — calcular h, avaliar f nos nós, aplicar a fórmula de Simpson e, se necessário, usar a expressão do erro com f^{(4)}. Dá pra fazer rápido na prova com calma e um pouco de atenção aos cálculos.

Resposta

(a) S\approx0{,}8657873241
(b) estimativa (bound teórico) |E_{S}|\le0{,}5184; erro real E_{\text{real}}\approx0{,}0086444670
(c) n_{\min}=24

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