Exemplo: Considere a integral \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
Simples, temos:
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a Regra 1 / 3 de Simpson Repetida.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular dessa técnica numérica. quantas subdivisões são necessárias para atingir um
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a 10^{-3} ?
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede:
(a) Calcular uma aproximação da integral \displaystyle\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx usando a Regra de Simpson 1/3 repetida com 10 subintervalos.
(b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica (ou seja, um limite superior para o erro) — e, para informação, também calcularei o erro real (diferença entre a aproximação e o valor exato).
(c) Determinar o número mínimo de subdivisões n tal que o erro seja inferior a 10^{-3}, usando a fórmula fornecida:
Calcular f(x_i)=1/x_i^{2}. É útil perceber e usar frações exatas quando possível:\begin{aligned} f(x_{0})&=\frac{1}{1^{2}}=1,\\[4pt] f(x_{1})&=\frac{1}{(1{,}6)^{2}}=\frac{1}{2{,}56}=0{,}390625,\\[4pt] f(x_{2})&=\frac{1}{(2{,}2)^{2}}=\frac{1}{4{,}84}=\frac{25}{121}\approx0{,}2066115702,\\[4pt] f(x_{3})&=\frac{1}{(2{,}8)^{2}}=\frac{1}{7{,}84}=\frac{25}{196}\approx0{,}1275510204,\\[4pt] f(x_{4})&=\frac{1}{(3{,}4)^{2}}=\frac{1}{11{,}56}=\frac{25}{289}\approx0{,}0865051903,\\[4pt] f(x_{5})&=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}=0{,}0625,\\[4pt] f(x_{6})&=\frac{1}{(4{,}6)^{2}}=\frac{1}{21{,}16}=\frac{25}{529}\approx0{,}0472651959,\\[4pt] f(x_{7})&=\frac{1}{(5{,}2)^{2}}=\frac{1}{27{,}04}=\frac{25}{676}\approx0{,}0369822485,\\[4pt] f(x_{8})&=\frac{1}{(5{,}8)^{2}}=\frac{1}{33{,}64}=\frac{25}{841}\approx0{,}0297376093,\\[4pt] f(x_{9})&=\frac{1}{(6{,}4)^{2}}=\frac{1}{40{,}96}=\frac{25}{1024}=0{,}0244140625,\\[4pt] f(x_{10})&=\frac{1}{7^{2}}=\frac{1}{49}\approx0{,}0204081633. \end{aligned}]
Passo 4
Montar a soma para a Regra de Simpson composta (fórmula) e calcular termos parciais.
Fórmula da Regra de Simpson composta (com passo h e n subintervalos, n par):S=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1}f(x_{i})+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2}f(x_{i})\Bigr).í
Calcular somas separadas:
Soma dos índices ímpares i=1,3,5,7,9:\sum_{\text{ímpares}}f(x_i)=0{,}390625+0{,}1275510204+0{,}0625+0{,}0369822485+0{,}0244140625\approx0{,}6420723314.í
Soma dos índices pares i=2,4,6,8:\sum_{\text{pares}}f(x_i)=0{,}2066115702+0{,}0865051903+0{,}0472651959+0{,}0297376093\approx0{,}3701195658.
Agora montar o interior da fórmula:f(x_{0})+f(x_{10}) \approx 1+0{,}0204081633=1{,}0204081633.
Avaliando entre 1 e 7:\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{7}=-\frac{1}{7}-\Bigl(-\frac{1}{1}\Bigr)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}\approx0{,}8571428571.
Passo 7
Calcular o erro real (diferença entre a aproximação e o valor exato).
Interpretação: a aproximação de Simpson com n=10 superestimou o valor exato em cerca de 8{,}64\times10^{-3}.
Passo 8
Derivar f^{(4)}(x) e determinar \max_{[1,7]}|f^{(4)}(x)| (necessário para o estimador de erro teórico).
A função é f(x)=x^{-2}. Vamos derivar passo a passo:f(x)=x^{-2},
f'(x)=-2x^{-3},
f''(x)=6x^{-4},
f^{(3)}(x)=-24x^{-5},
f^{(4)}(x)=120x^{-6}.
No intervalo [1,7] temos x^{-6} decrescente quando x cresce, logo o máximo de f^{(4)}(x)=120x^{-6} ocorre em x=1:\max_{x\in[1,7]}|f^{(4)}(x)|=f^{(4)}(1)=120.
Passo 9
Calcular a estimativa (limite superior) do erro para a Regra de Simpson composta e interpretar o resultado.
Fórmula padrão do limite de erro para Simpson composta (com passo h e n subintervalos, n par) é:|E_{S}|\le\frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.(explicação rápida: essa fórmula resulta da soma dos termos de erro de cada painel de Simpson; h é o comprimento de cada subintervalo.)
Aplicando os valores: b-a=6, h=0{,}6, \max|f^{(4)}|=120.h^{4}=(0{,}6)^{4}=0{,}1296.
Logo o limite teórico (estimativa conservadora) é\boxed{|E_{S}|\le0{,}5184.}
Observação importante (didática e prática): esse limite é um bound muito conservador (grande) — é comum o estimador teórico superestimar muito o erro real. O erro real calculado no Passo 7 foi \approx0{,}0086444670, bem menor que 0{,}5184. O estimador garante (com hipóteses) que o erro não passa daquele número, mas na prática pode ser muito mais frouxo.
Passo 10
Resolver a parte (c) usando a fórmula fornecida no enunciado e obter o número mínimo de subdivisões n.
A fórmula fornecida é:\mathrm{n}>\sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}}{2880\left|E_{S R}\right|}\max\left|f^{(4)}\text{(c)}\right|}.Aqui:
Como n precisa ser um inteiro e a Regra de Simpson exige n par, tomamos o menor inteiro par maior que 23{,}857, que é 24.
Portanto o número mínimo de subdivisões (segundo a fórmula fornecida) é\boxed{n_{\min}=24.}
Passo 11
Pequeno resumo final e incentivo (pra manter o ânimo).
Resultado da aproximação com Simpson n=10: S\approx0{,}8657873241.
Valor exato: \dfrac{6}{7}\approx0{,}8571428571.
Erro real: \approx0{,}0086444670.
Estimativa teórica pelo bound padrão de Simpson (conservadora): \le0{,}5184.
Usando a fórmula fornecida para garantir erro < 10^{-3}, obtemos n_{\min}=24 (número par e inteiro).
Você já foi longe: a parte chata são as somas, mas a ideia é sempre a mesma — calcular h, avaliar f nos nós, aplicar a fórmula de Simpson e, se necessário, usar a expressão do erro com f^{(4)}. Dá pra fazer rápido na prova com calma e um pouco de atenção aos cálculos.
Resposta
(a) S\approx0{,}8657873241
(b) estimativa (bound teórico) |E_{S}|\le0{,}5184; erro real E_{\text{real}}\approx0{,}0086444670