Exemplo: Considere a integral \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Regra \frac{3}{8} de Simpson.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx
e pede duas coisas:
(a) Calcular uma aproximação para a integral usando a Regra \tfrac{3}{8} de Simpson.
(b) Calcular uma estimativa para o erro gerado ao usar essa técnica numérica.
Informações importantes fornecidas:
Função: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
Intervalo: [a,b]=[1,7].
Para aplicar a Regra \tfrac{3}{8} composta é necessário dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais com n múltiplo de 3.
Passo 2
Escolha do particionamento e definição de h.
Para reduzir erro e mostrar a Regra \tfrac{3}{8} composta, escolho n=6 subintervalos (que é múltiplo de 3). Assim:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{7-1}{6}=1.
Os nós serão x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5,\;x_5=6,\;x_6=7.
(A escolha de n=6 é natural: com n=3 teria uma única aplicação do 3/8; com n=6 uso duas aplicações (Regra \tfrac{3}{8} composta), reduzindo o erro.)
Passo 3
Fórmula da Regra \tfrac{3}{8} composta e explicação.
A Regra \tfrac{3}{8} aplicada a um painel com três subintervalos (largura total 3h) dá a aproximação
Os coeficientes 1,3,3,2,\dots,3,3,1 aparecem repetidos painel a painel: extremos com coeficiente 1; nós internos que não são múltiplos de 3 têm coeficiente 3; nós interiores que são múltiplos de 3 (e não extremos) têm coeficiente 2.
Fórmula de erro teórico para a Regra \tfrac{3}{8} composta e cálculo da estimativa.
Para a Regra \tfrac{3}{8} aplicada a um painel de três subintervalos (largura total 3h) existe um termo de erro local que envolve a quarta derivada de f. Para a versão composta, um limite de erro global é
Portanto a estimativa teórica (limite superior) para o erro ao usar a Regra \tfrac{3}{8} composta com n=6 é 9. Observação: esse é um limite teórico — frequentemente conservador; aqui o erro real calculado anteriormente é aproximadamente 0{,}0549, muito menor que o limite.