• Exemplo: Considere a integral \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
    a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Regra \frac{3}{8} de Simpson.
    b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular uma aproximação para a integral usando a Regra \tfrac{3}{8} de Simpson.
  • (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado ao usar essa técnica numérica.
Informações importantes fornecidas:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Intervalo: [a,b]=[1,7].
  • Para aplicar a Regra \tfrac{3}{8} composta é necessário dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais com n múltiplo de 3.

Passo 2

Escolha do particionamento e definição de h.
Para reduzir erro e mostrar a Regra \tfrac{3}{8} composta, escolho n=6 subintervalos (que é múltiplo de 3). Assim:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{7-1}{6}=1.
Os nós serão x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5,\;x_5=6,\;x_6=7.
(A escolha de n=6 é natural: com n=3 teria uma única aplicação do 3/8; com n=6 uso duas aplicações (Regra \tfrac{3}{8} composta), reduzindo o erro.)

Passo 3

Fórmula da Regra \tfrac{3}{8} composta e explicação.
A Regra \tfrac{3}{8} aplicada a um painel com três subintervalos (largura total 3h) dá a aproximação
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr).
Na versão composta, sobre todo [a,b] com n subintervalos ( n múltiplo de 3 ), a fórmula pode ser escrita em forma combinada como
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Biggl(f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{n-3} f(x_i)\Biggr).
Explicando as variáveis:
  • h é o tamanho de cada subintervalo (aqui h=1).
  • x_i=a+ih são os nós.
  • Os coeficientes 1,3,3,2,\dots,3,3,1 aparecem repetidos painel a painel: extremos com coeficiente 1; nós internos que não são múltiplos de 3 têm coeficiente 3; nós interiores que são múltiplos de 3 (e não extremos) têm coeficiente 2.

Passo 4

Avaliação da função nos nós.
Calculamos f(x_i)=1/x_i^2 para i=0,\dots,6:
\begin{aligned} f(x_0)=f(1)&=1,\\\ f(x_1)=f(2)&=\tfrac{1}{4},\\\ f(x_2)=f(3)&=\tfrac{1}{9},\\\ f(x_3)=f(4)&=\tfrac{1}{16},\\\ f(x_4)=f(5)&=\tfrac{1}{25},\\\ f(x_5)=f(6)&=\tfrac{1}{36},\\\ f(x_6)=f(7)&=\tfrac{1}{49}. \end{aligned}

Passo 5

Aplicando a Regra \tfrac{3}{8} composta com n=6 e h=1.
Usando a fórmula composta:
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl(f(x_0)+f(x_6)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{5} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{3} f(x_i)\Bigr).
Aqui h=1. Os índices com i\not\equiv 0\pmod{3} em 1\le i\le5 são i=1,2,4,5. O índice múltiplo de 3 no interior é i=3.
Substituindo valores:
\begin{aligned} f(x_0)+f(x_6)&=1+\tfrac{1}{49}=\tfrac{50}{49},\\[4pt] \sum_{i\in\{1,2,4,5\}} f(x_i)&=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{36}=\tfrac{193}{450},\\[4pt] f(x_3)&=\tfrac{1}{16}. \end{aligned}
Agora a combinação:
\begin{aligned} S &= f(x_0)+f(x_6)+3\cdot\frac{193}{450}+2\cdot\frac{1}{16} = \frac{50}{49} + \frac{579}{450} + \frac{1}{8}. \end{aligned}
Colocando em forma racional comum e simplificando (cálculo algébrico mostrado nos passos auxiliares), obtemos
S=\frac{214509}{88200}.
Finalmente, multiplicando por \dfrac{3h}{8}=\dfrac{3}{8}:
\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx \approx \frac{3}{8}\cdot\frac{214509}{88200}=\frac{71503}{78400}\approx 0,91202806.]

Passo 6

Verificação rápida (valor exato e erro real).
Para comparar, a integral exata pode ser calculada analiticamente:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C,
portanto
\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{7}+1 = \frac{6}{7}\approx 0,85714286.
O erro real da aproximação (diferença entre aproximação e valor exato) é
\text{erro real}\approx 0,91202806-0,85714286\approx 0,05488520.

Passo 7

Fórmula de erro teórico para a Regra \tfrac{3}{8} composta e cálculo da estimativa.
Para a Regra \tfrac{3}{8} aplicada a um painel de três subintervalos (largura total 3h) existe um termo de erro local que envolve a quarta derivada de f. Para a versão composta, um limite de erro global é
|E|\le \frac{(b-a)\,h^{4}}{80}\max_{x\in[a,b]} \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|,
onde h é a largura de cada subintervalo (aqui h=1) e b-a=6. Vamos calcular f^{(4)}(x) para a função f(x)=x^{-2}.
Derivando:
\begin{aligned} f'(x)&=-2x^{-3},\\\ f''(x)&=6x^{-4},\\\ f^{(3)}(x)&=-24x^{-5},\\\ f^{(4)}(x)&=120x^{-6}. \end{aligned}
Em [1,7], x^{-6} é máxima em x=1, logo
\max_{[1,7]}|f^{(4)}(x)|=120\cdot 1^{-6}=120.
Substituindo na fórmula de erro com h=1 e b-a=6:
|E|\le \frac{6\cdot 1^{4}}{80}\cdot 120 = \frac{6}{80}\cdot 120 = 0{,}075\cdot 120 = 9.
Portanto a estimativa teórica (limite superior) para o erro ao usar a Regra \tfrac{3}{8} composta com n=6 é 9. Observação: esse é um limite teórico — frequentemente conservador; aqui o erro real calculado anteriormente é aproximadamente 0{,}0549, muito menor que o limite.

Resposta

(a) \dfrac{71503}{78400}\approx 0,91202806
(b) Estimativa (limite superior) do erro: 9

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