• Exercício: Considere a integral \int_{0}^{1} e^{x} d x
    a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 subintervalos e a Regra 1 / 3 de Simpson Repetida.
    b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
    c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a 10^{-10} ?

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx
e pede três coisas:
  • (a) uma aproximação usando 8 subintervalos com a Regra 1/3 de Simpson repetida;
  • (b) uma estimativa (cota) para o erro gerado por essa técnica;
  • (c) o número mínimo de subdivisões necessário para que o erro seja inferior a 10^{-10}.
Informações relevantes que vamos usar imediatamente:
  • O intervalo é [a,b]=[0,1].
  • Para o item (a) teremos n=8 subintervalos (note: n deve ser par para Simpson composto).
  • A função é f(x)=e^{x}.

Passo 2

Vou explicar a Regra composta de Simpson 1/3 (a fórmula que vou aplicar) e os símbolos.
Definições:
  • Seja n o número de subintervalos (par).
  • Seja h=\dfrac{b-a}{n} o tamanho de cada subintervalo.
  • Os pontos de divisão são x_i=a+i h para i=0,1,\dots,n.
  • Escreve-se f_i=f(x_i).
A fórmula composta de Simpson é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_n + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f_i\Bigr).í
Explicando: soma-se as pontas f_0 e f_n, soma-se com peso 4 as avaliações em índices ímpares internos e com peso 2 as avaliações em índices pares internos, multiplica-se tudo por h/3.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=1, n=8. Então
h=\frac{1-0}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125.
Os nós são x_i=0,0{,}125,0{,}25,0{,}375,0{,}5,0{,}625,0{,}75,0{,}875,1.
Calculamos f_i=e^{x_i} (vou mostrar valores numéricos com precisão suficiente):
\begin{aligned} f_0&=e^{0}=1{,}0000000000000000,\\\ f_1&=e^{0{,}125}\approx 1{,}1331484530668263,\\\ f_2&=e^{0{,}25}\approx 1{,}2840254166877414,\\\ f_3&=e^{0{,}375}\approx 1{,}4549914146182013,\\\ f_4&=e^{0{,}5}\approx 1{,}6487212707001282,\\\ f_5&=e^{0{,}625}\approx 1{,}8682459576568012,\\\ f_6&=e^{0{,}75}\approx 2{,}1170000166126750,\\\ f_7&=e^{0{,}875}\approx 2{,}3988750180986786,\\\ f_8&=e^{1}\approx 2{,}7182818284590452. \end{aligned}
(Os valores acima foram obtidos avaliando e^{x} nos pontos x_i.)

Passo 4

Agora montamos a soma de Simpson. Primeiro as somas internas:
Soma das avaliações em índices ímpares:
\sum_{\text{ímpares}} f_i = f_1+f_3+f_5+f_7 \approx 1{,}1331484530668263 + 1{,}4549914146182013 + 1{,}8682459576568012 + 2{,}3988750180986786 \approx 6{,}8552608434405074.í
Soma das avaliações em índices pares internos:
\sum_{\text{pares}} f_i = f_2+f_4+f_6 \approx 1{,}2840254166877414 + 1{,}6487212707001282 + 2{,}1170000166126750 \approx 5{,}0497467040005446.
Agora aplicamos a fórmula composta:
\begin{aligned} S&=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_8 + 4\sum_{\text{ímpares}} f_i + 2\sum_{\text{pares}} f_i\Bigr)\\[4pt] &=\frac{0{,}125}{3}\Bigl(1{,}0000000000000000 + 2{,}7182818284590452 + 4\cdot 6{,}8552608434405074 + 2\cdot 5{,}0497467040005446\Bigr). \end{aligned}í
Calcule o interior:
1{,}0000000000000000 + 2{,}7182818284590452 = 3{,}7182818284590452,
4\cdot 6{,}8552608434405074 \approx 27{,}4210433737620296,
2\cdot 5{,}0497467040005446 \approx 10{,}0994934080010892.
Soma total dentro dos parênteses:
3{,}7182818284590452 + 27{,}4210433737620296 + 10{,}0994934080010892 \approx 41{,}238818610222164.
Multiplicando por h/3=0{,}125/3=1/24:
S \approx \frac{41{,}238818610222164}{24} \approx 1{,}7182841087592568.
Portanto a aproximação pelo método de Simpson com n=8 é
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx \approx 1{,}7182841087592568.]

Passo 5

Agora a estimativa do erro (cota) teórica para a Regra composta de Simpson.
Fórmula de erro (cota) para Simpson composto: se f tem derivada quarta contínua em [a,b], então existe \xi\in(a,b) tal que o erro é
E = -\frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,f^{(4)}(\xi).
Usamos a cota absoluta
|E|\le \frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
No nosso caso f(x)=e^{x}. Todas as derivadas de e^{x} são e^{x}, então f^{(4)}(x)=e^{x}. No intervalo [0,1] o máximo de e^{x} é e^{1}=e. Assim
|E|\le \frac{1}{180}\,h^{4}\,e.
Com h=\dfrac{1}{8} temos h^{4}=\dfrac{1}{8^{4}}=\dfrac{1}{4096}. Portanto
|E|\le \frac{e}{180\cdot 4096}=\frac{e}{737280}.
Valor numérico:
\frac{e}{737280}\approx 3{,}687279\times 10^{-6}.
Logo a estimativa (cota) para o erro usando n=8 é aproximadamente 3{,}6873\times 10^{-6}.

Passo 6

Verificação rápida do erro real (opcional, para ver se a cota é conservadora):
O valor exato da integral é
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{1}-e^{0} = e-1 \approx 1{,}7182818284590452.
A aproximação de Simpson deu S\approx 1{,}7182841087592568. O erro real é
\text{erro real} = S - (e-1) \approx 1{,}7182841087592568 - 1{,}7182818284590452 \approx 2{,}2803002116\times 10^{-6},
o que está abaixo da cota teórica 3{,}6873\times 10^{-6}, como esperado.

Passo 7

Item (c): número mínimo de subdivisões para erro menor que 10^{-10}.
Usamos a cota:
\frac{1}{180}\,h^{4}\,e \le 10^{-10},
com h=\dfrac{1}{n} (pois b-a=1). Então
\frac{e}{180}\,\frac{1}{n^{4}}\le 10^{-10} \quad\Longrightarrow\quad n^{4}\ge \frac{e}{180\cdot 10^{-10}} = \frac{e}{1{,}8\times 10^{-8}}.
Calculando numericamente:
n^{4} \ge 1{,}510156571\times 10^{8}\quad\Rightarrow\quad n \ge (1{,}510156571\times 10^{8})^{1/4}\approx 110{,}93\ldots
Como n deve ser inteiro e par (Simpson composto exige n par), o menor n que satisfaz a cota é
n_{\min}=112.

Resposta

(a) 1{,}7182841087592568
(b) estimativa (cota) do erro: \displaystyle \frac{e}{737280}\approx 3{,}687279\times 10^{-6}
(c) 112

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