- Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 subintervalos e a Regra
de Simpson Repetida.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
?
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 subintervalos e a Regra
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
e pede três coisas:
- (a) uma aproximação usando 8 subintervalos com a Regra
de Simpson repetida; - (b) uma estimativa (cota) para o erro gerado por essa técnica;
- (c) o número mínimo de subdivisões necessário para que o erro seja inferior a
.
Informações relevantes que vamos usar imediatamente:
- O intervalo é
. - Para o item (a) teremos
subintervalos (note: deve ser par para Simpson composto). - A função é
.
Passo 2
Vou explicar a Regra composta de Simpson
(a fórmula que vou aplicar) e os símbolos.
Definições:
- Seja
o número de subintervalos (par). - Seja
o tamanho de cada subintervalo. - Os pontos de divisão são
para . - Escreve-se
.
A fórmula composta de Simpson é
Explicando: soma-se as pontas
e
, soma-se com peso
as avaliações em índices ímpares internos e com peso
as avaliações em índices pares internos, multiplica-se tudo por
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
,
,
. Então
Os nós são
.
Calculamos (vou mostrar valores numéricos com precisão suficiente):
Calculamos
(Os valores acima foram obtidos avaliando
nos pontos
.)
Passo 4
Agora montamos a soma de Simpson. Primeiro as somas internas:
Soma das avaliações em índices ímpares:
Soma das avaliações em índices pares internos:
Agora aplicamos a fórmula composta:
Calcule o interior:
Soma total dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Portanto a aproximação pelo método de Simpson com
é
Passo 5
Agora a estimativa do erro (cota) teórica para a Regra composta de Simpson.
Fórmula de erro (cota) para Simpson composto: se
tem derivada quarta contínua em
, então existe
tal que o erro é
Usamos a cota absoluta
No nosso caso
. Todas as derivadas de
são
, então
. No intervalo
o máximo de
é
. Assim
Com
temos
. Portanto
Valor numérico:
Logo a estimativa (cota) para o erro usando
é aproximadamente
.
Passo 6
Verificação rápida do erro real (opcional, para ver se a cota é conservadora):
O valor exato da integral é
A aproximação de Simpson deu
. O erro real é
o que está abaixo da cota teórica
, como esperado.
Passo 7
Item (c): número mínimo de subdivisões para erro menor que
.
Usamos a cota:
com
(pois
). Então
Calculando numericamente:
Como
deve ser inteiro e par (Simpson composto exige
par), o menor
que satisfaz a cota é
Resposta
(a)
(b) estimativa (cota) do erro:
(c)
(b) estimativa (cota) do erro:
(c)