Exemplo 7: Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right] :
a) Obtenha a matriz inversa de A
b) (RA2) Verifique se a matriz inversa obtida está correta, usando o produto de matrizes.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) obter a matriz inversa de A;
(b) verificar se a inversa obtida está correta usando o produto de matrizes.
Informações úteis fornecidas: os quatro elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=2 e a_{22}=5.]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições correspondentes: a é o elemento linha 1 coluna 1, b é linha 1 coluna 2, etc. O determinante mede, de forma geométrica, o fator de escala da transformação linear representada por M; algebraicamente ele aparece no denominador da fórmula da inversa.
Vamos calcular o determinante de A. Substituindo a=1, b=3, c=2, d=5 temos
\det(A)=1\cdot 5 - 3\cdot 2 = 5 - 6 = -1.
Observação importante: como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a fórmula abaixo pode ser usada.]
Passo 3
A fórmula direta para a inversa de uma matriz 2\times2 é
Aqui o que está dentro da matriz é a matriz adjunta (ou matriz dos cofatores transposta) para o caso 2\times2: trocamos a e d de lugar e mudamos o sinal de b e c. Em seguida multiplicamos por 1/\det(M).
Aplicando isso para A, com \det(A)=-1, vamos primeiro formar a matriz dos cofatores (adjugata) sem dividir ainda.]
Agora vamos verificar multiplicando matrizes: se A^{-1} está correta, o produto A\cdot A^{-1} deve ser a identidade I_2. Lembrete da regra de multiplicação: para duas matrizes X e Y, o elemento (XY)_{ij} é a soma sobre k de X_{ik}Y_{kj}. Aqui fazemos isso explicitamente.