Exemplo 7: Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right] :
a) Obtenha a matriz inversa de A
b) (RA2) Verifique se a matriz inversa obtida está correta, usando o produto de matrizes.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) obter a matriz inversa de A;
  • (b) verificar se a inversa obtida está correta usando o produto de matrizes.
Informações úteis fornecidas: os quatro elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=2 e a_{22}=5.]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições correspondentes: a é o elemento linha 1 coluna 1, b é linha 1 coluna 2, etc. O determinante mede, de forma geométrica, o fator de escala da transformação linear representada por M; algebraicamente ele aparece no denominador da fórmula da inversa.
Vamos calcular o determinante de A. Substituindo a=1, b=3, c=2, d=5 temos
\det(A)=1\cdot 5 - 3\cdot 2 = 5 - 6 = -1.
Observação importante: como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a fórmula abaixo pode ser usada.]

Passo 3

A fórmula direta para a inversa de uma matriz 2\times2 é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui o que está dentro da matriz é a matriz adjunta (ou matriz dos cofatores transposta) para o caso 2\times2: trocamos a e d de lugar e mudamos o sinal de b e c. Em seguida multiplicamos por 1/\det(M).
Aplicando isso para A, com \det(A)=-1, vamos primeiro formar a matriz dos cofatores (adjugata) sem dividir ainda.]

Passo 4

A matriz dos cofatores (adjugata) de A é
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da inversa multiplicando a adjugata por 1/\det(A). Como \det(A)=-1, temos o fator 1/(-1)=-1. Então
A^{-1}=-1\cdot\begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Esse é o resultado para a parte (a).]

Passo 6

Agora vamos verificar multiplicando matrizes: se A^{-1} está correta, o produto A\cdot A^{-1} deve ser a identidade I_2. Lembrete da regra de multiplicação: para duas matrizes X e Y, o elemento (XY)_{ij} é a soma sobre k de X_{ik}Y_{kj}. Aqui fazemos isso explicitamente.
Calculemos A\cdot A^{-1} com
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Elemento (1,1):
( A A^{-1})_{11}=1\cdot(-5)+3\cdot 2 = -5+6 = 1.
Elemento (1,2):
( A A^{-1})_{12}=1\cdot 3 + 3\cdot(-1) = 3-3 = 0.
Elemento (2,1):
( A A^{-1})_{21}=2\cdot(-5)+5\cdot 2 = -10+10 = 0.
Elemento (2,2):
( A A^{-1})_{22}=2\cdot 3 + 5\cdot(-1) = 6-5 = 1.
Portanto
A A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_2.]

Passo 7

Para ficar completamente tranquilo, podemos também verificar o produto na ordem inversa A^{-1}A:
Elemento (1,1):
( A^{-1}A)_{11}=(-5)\cdot 1 + 3\cdot 2 = -5+6 = 1.
Elemento (1,2):
( A^{-1}A)_{12}=(-5)\cdot 3 + 3\cdot 5 = -15+15 = 0.
Elemento (2,1):
( A^{-1}A)_{21}=2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 2-2 = 0.
Elemento (2,2):
( A^{-1}A)_{22}=2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 = 6-5 = 1.
Logo
A^{-1}A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_2.
Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa de A.]

Resposta

(a) A^{-1}=\begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}
(b) A A^{-1}=A^{-1}A=I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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