Exemplo 3.5.2. Considere retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
a) Qual é a probabilidade de que sejam necessárias exatamente três retiradas até se extrair bola verde pela primeira vez?
b) Qual é a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos três retiradas até se extrair bola verde pela primeira vez?

Passo 1

No enunciado temos extrações com reposição de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Definimos X como o número de retiradas até obter a primeira bola verde. O conteúdo aqui é a distribuição geométrica, cujas fórmulas são
P(X=k) = (1-p)^k-1p
e
P(X >= k) = (1-p)^k-1,
onde p é a probabilidade de sucesso (extrair bola verde) em cada retirada.

Passo 2

Calculamos a probabilidade de sucesso
p = 810 = 0,8
e a de fracasso
1 - p = 0,2

Passo 3

Para a parte (a), queremos exatamente três retiradas até a primeira verde, ou seja
P(X=3) = (1-p)^3-1,p = (0,2)^2cdot 0,8 = 0,04cdot 0,8 = 0,032

Passo 4

Para a parte (b), queremos pelo menos três retiradas até a primeira verde, isto é
P(X>= 3) = (1-p)^3-1 = (0,2)^2 = 0,04

Resposta

a) ,0,032
b) ,0,04

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