Exemplo 3:

Considere a seguinte função:
f(x, y)= \begin{cases}2, & \text { se } 0 \leq x \leq y \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}á

Pede-se:

  • Verifique que f(x, y) define uma função densidade de probabilidade conjunta.

Passo 1

O enunciado define a função conjunta
f(x,y)= \begin{cases} 2,&\text{se }0\le x\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede para mostrar que isso é uma densidade de probabilidade conjunta. Para isso, precisamos usar a definição de densidade conjunta:
  1. f(x,y)\ge0 para todo (x,y).
  2. \displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=1.

Passo 2

Verificamos a não–negatividade de f.
Em qualquer ponto (x,y), f(x,y) vale ou 2 ou 0. Logo
f(x,y)\ge0\quad\text{para todo }(x,y).

Passo 3

Agora fazemos a normalização. Como f é zero fora da região
R=\{(x,y)\mid0\le x\le y\le1\},
basta integrar sobre R:
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy =\iint_{R}2\,dx\,dy =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{y}2\,dx\,dy.
No interior primeiro integramos em x:
\int_{x=0}^{y}2\,dx = 2y.
Depois em y:
\int_{y=0}^{1}2y\,dy =\bigl[y^2\bigr]_{0}^{1} =1.

Resposta

Sim. Como f(x,y)\ge0 e \displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy=1, a função definida é de fato uma densidade de probabilidade conjunta.

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