Um estudante de psicologia é submetido a quatro questões de múltipla escolha, em cada questão tinha cinco alternativas. Logo a chance de acerta uma questão no chute é 20 \%.
a) Construir o Espaço amostral ( \Omega ).
b) Qual a probabilidade de errar todas as questões?
c) Qual a probabilidade de gabaritar a prova?
d) Qual a probabilidade de acertar somente uma questão?

Passo 1

O enunciado apresenta quatro questões de múltipla escolha, cada uma com cinco alternativas, de modo que a probabilidade de acerto ao chutar é 0,2. As questões são independentes. Vamos usar o modelo de distribuição binomial e considerar o espaço amostral com cada questão podendo ser “acerto” (C) ou “erro” (E).

Passo 2

O espaço amostral \Omega é o conjunto de todas as sequências de quatro símbolos em \{C,E\}. Em forma geral
\Omega = \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_i\in\{C,E\}\},
ou seja
\Omega = \{CCCC,\,CCCE,\,CCE C,\,\dots,\,EEEE\},
totalizando 2^4=16 resultados possíveis.

Passo 3

Para errar todas as questões precisamos do evento EEEE. Como cada erro tem probabilidade 0,8,
P(\text{todas erradas}) = P(EEEE) = (0,8)^4 = 0,4096.

Passo 4

Para gabaritar a prova precisamos do evento CCCC. Como cada acerto tem probabilidade 0,2,
P(\text{todas certas}) = P(CCCC) = (0,2)^4 = 0,0016.

Passo 5

Para acertar exatamente uma questão usamos a fórmula da binomial \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} com n=4, k=1 e p=0,2:
P(\text{exatamente 1 acerto}) = \binom{4}{1}(0,2)^1(0,8)^3 = 4 \times 0,2 \times (0,8)^3 = 4 \times 0,2 \times 0,512 = 0,4096.

Resposta

a) \displaystyle \Omega=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_i\in\{C,E\}\}, ou equivalentemente \{CCCC,\,CCCE,\,\dots,\,EEEE\}.
b) P(\text{todas erradas})=(0,8)^4=0,4096.
c) P(\text{todas certas})=(0,2)^4=0,0016.
d) P(\text{exatamente 1 acerto})=4\,(0,2)\,(0,8)^3=0,4096.

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