Q1
Exemplo: Dadas as funções
, determine
:
- Utilizando identidades trigonométricas
- Utilizando o conceito de fasores
Exemplo: Dadas as funções
Passo 1
O enunciado dá as duas tensões senoidais (mesma frequência) e pede a soma:
Pediram para determinar
por dois métodos:
- Utilizando identidades trigonométricas.
- Utilizando o conceito de fasores.
As informações relevantes: amplitudese , fases e , mesma frequência . A soma deve ser apresentada como uma única cosenoide (mesma frequência) com amplitude e fase resultantes.
Passo 2
Vamos começar com identidades trigonométricas. A ideia é escrever cada cosseno em termos de
e
usando a identidade de adição:
Tomando
e
igual à fase, temos
Aplicando isso em
e
:
Passo 3
Agora calculamos os coeficientes de
e
. Usamos os valores exatos:
Substituindo:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Portanto
Note: como já tínhamos os sinais corretamente, podemos escrever diretamente
Passo 4
Agora combinamos
numa única cosenoide. A identidade que usamos é:
Comparando com
encontramos:
Dessa forma
onde devemos tomar o quadrante correto para
com base nos sinais de
e
. Aqui
e
, então
é no primeiro quadrante.
Passo 5
Calculamos
e
com os valores exatos de
e
.
Primeiro e
escritos novamente:
Primeiro
Calculamos
. Expandindo (é útil fazer passo a passo):
Somando:
Logo
Agora
:
Podemos deixar
nessa forma exata ou calcular a aproximação em graus. Avaliando numericamente:
(Usei vírgula decimal conforme convensão.)
Portanto, pela identidade trigonométrica:
Note a convenção de sinal; como obtivemos
e
, a forma usual é
Equivalente (mudando sinal da fase) é
se interpretarmos
com sinal trocado conforme a forma que quisermos apresentar; atenção ao comparar formas — o importante é o valor de
e
usados para definir
. Na nossa dedução, com
, o resultado final consistente é
Passo 6
Agora o método de fasores (mais curto e muito usado em prova): representar cada termo como a parte real de um fasor complexo:
Somando os fasores complexos basta somar
. Convertendo para forma retangular (usar
e
):
Somando:
Módulo e argumento:
Então
Aqui
é o ângulo encontrado; compatibilizando sinais com a forma usada, obtemos a mesma resposta do método trigonométrico.
Resposta
Usando identidades trigonométricas:
.\n
Usando fasores: com
,
e
, logo
.
Usando fasores: