Exemplo 2
Determinar os extremos da função
f(x, y)=x+y
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}=4 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Temos a função objetivo f(x,y)=x+y.
  • Temos a restrição x^{2}+y^{2}=4.
  • O pedido: determinar os extremos (máximo e mínimo) de f quando (x,y) varia sobre a curva dada pela restrição.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A restrição define um círculo de raio 2 centrado na origem (pois x^{2}+y^{2}=4).
  • A função f é contínua e a restrição é um conjunto compacto (o círculo), então f atinge máximo e mínimo sobre esse conjunto — portanto os extremos existem e são globais.

Passo 2

Escolhemos usar multiplicadores de Lagrange (método): a ideia básica é que num ponto extremo sujeito à restrição a direção de maior crescimento de f (o gradiente de f) é paralela à direção em que a restrição muda (o gradiente da função que define a restrição). Formalmente, se a restrição é g(x,y)=0 com g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4, então em um extremo existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Aqui explicando as notações:
  • \nabla f(x,y) é o vetor gradiente de f, cujas componentes são as derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a magnitude do gradiente de g para igualar o de f).
  • \nabla g(x,y) é o gradiente de g.
Agora calculamos os gradientes explicitamente:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x+y),\;\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)\right)=(1,1),
\nabla g(x,y)=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}-4),\;\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}-4)\right)=(2x,2y).
Aplicando a condição \nabla f=\lambda\nabla g obtemos o sistema
1= \lambda\cdot 2x,
1= \lambda\cdot 2y,
junto com a restrição
x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Resolver o sistema. Das duas primeiras equações temos
2\lambda x = 1 \quad\text{e}\quad 2\lambda y = 1.
Subtraindo ou comparando, conclui-se que
2\lambda x = 2\lambda y \quad\Rightarrow\quad x = y,
desde que \lambda não seja zero. Observação importante: não há solução com x=0 ou y=0 porque se por exemplo x=0 então 1=2\lambda x=0, absurdo. Portanto x e y são ambos não nulos e podemos concluir com segurança x=y.
Substituindo y=x na restrição:
x^{2}+x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2.
Logo
x=\pm\sqrt{2},\qquad y=x=\pm\sqrt{2}.
Isso nos dá dois pontos candidatos sobre o círculo:
(\sqrt{2},\sqrt{2})\quad\text{e}\quad(-\sqrt{2},-\sqrt{2}).

Passo 4

Avaliar f nos pontos candidatos para identificar máximo e mínimo. Lembrando f(x,y)=x+y:
Para (\sqrt{2},\sqrt{2}):
f(\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Para (-\sqrt{2},-\sqrt{2}):
f(-\sqrt{2},-\sqrt{2})=-\sqrt{2}-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}.

Passo 5

Decidir qual é máximo e qual é mínimo: como 2\sqrt{2}>-2\sqrt{2}, o valor 2\sqrt{2} é o maior (máximo global sobre o círculo) e -2\sqrt{2} é o menor (mínimo global). Isso é consistente com o fato já notado de que um contínuo sobre um conjunto compacto atinge máximos e mínimos e com a comparação direta dos valores obtidos.

Passo 6

Interpretação geométrica (intuição rápida e útil para a prova): as curvas de nível da função f(x,y)=x+y são retas do tipo x+y=\text{constante}. Mover essa reta paralelamente para aumentar a constante desloca-a na direção (1,1). O máximo sobre o círculo ocorre quando a reta toca o círculo mais distante na direção (1,1), e o mínimo quando toca no lado oposto (-1,-1). Os pontos de contato coincidem com (\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}) que encontramos pelo método dos multiplicadores — é só outra forma de ver que faz sentido.

Resposta

Máximo: f_{\max}=2\sqrt{2} no ponto (\sqrt{2},\sqrt{2}).
Mínimo: f_{\min}=-2\sqrt{2} no ponto (-\sqrt{2},-\sqrt{2}).

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