Exemplo 2
Determinar os extremos da função
sujeita à restrição
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Temos a função objetivo
. - Temos a restrição
. - O pedido: determinar os extremos (máximo e mínimo) de
quando varia sobre a curva dada pela restrição.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A restrição define um círculo de raio
centrado na origem (pois ). - A função
é contínua e a restrição é um conjunto compacto (o círculo), então atinge máximo e mínimo sobre esse conjunto — portanto os extremos existem e são globais.
Passo 2
Escolhemos usar multiplicadores de Lagrange (método): a ideia básica é que num ponto extremo sujeito à restrição a direção de maior crescimento de
(o gradiente de
) é paralela à direção em que a restrição muda (o gradiente da função que define a restrição). Formalmente, se a restrição é
com
, então em um extremo existe
tal que
Aqui explicando as notações:
-
é o vetor gradiente de , cujas componentes são as derivadas parciais . -
é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a magnitude do gradiente de para igualar o de ). -
é o gradiente de .
Agora calculamos os gradientes explicitamente:
Aplicando a condição
obtemos o sistema
junto com a restrição
Passo 3
Resolver o sistema. Das duas primeiras equações temos
Subtraindo ou comparando, conclui-se que
desde que
não seja zero. Observação importante: não há solução com
ou
porque se por exemplo
então
, absurdo. Portanto
e
são ambos não nulos e podemos concluir com segurança
.
Substituindo
na restrição:
Logo
Isso nos dá dois pontos candidatos sobre o círculo:
Passo 4
Avaliar
nos pontos candidatos para identificar máximo e mínimo. Lembrando
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Decidir qual é máximo e qual é mínimo: como
, o valor
é o maior (máximo global sobre o círculo) e
é o menor (mínimo global). Isso é consistente com o fato já notado de que um contínuo sobre um conjunto compacto atinge máximos e mínimos e com a comparação direta dos valores obtidos.
Passo 6
Interpretação geométrica (intuição rápida e útil para a prova): as curvas de nível da função
são retas do tipo
. Mover essa reta paralelamente para aumentar a constante desloca-a na direção
. O máximo sobre o círculo ocorre quando a reta toca o círculo mais distante na direção
, e o mínimo quando toca no lado oposto
. Os pontos de contato coincidem com
que encontramos pelo método dos multiplicadores — é só outra forma de ver que faz sentido.
Resposta
Máximo:
no ponto
.
Mínimo: no ponto
.
Mínimo: