Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
  1. (x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{3}+y^{3}
  2. y \sqrt{2}+3 x+x \sqrt{1+y}=x

Passo 1

Enunciados e o que é pedido:
  • Exercício 27: (x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{3}+y^{3}. Pede-se achar \dfrac{dy}{dx}.
  • Exercício 28: y \sqrt{2}+3 x+x \sqrt{1+y}=x. Pede-se achar \dfrac{dy}{dx}.
Informações dadas relevantes:
  • Em ambas as equações y é função implícita de x; portanto ao derivar termos contendo y devemos aplicar a regra da cadeia e multiplicar por \dfrac{dy}{dx}.
  • Os termos que combinam x e y exigirão regra do produto quando diferenciados (por exemplo, x\sqrt{1+y}).

Passo 2

Resolução do Exercício 27 — estratégia e simplificação inicial.
  • Observação inteligente: a diferença de quadrados pode ser simplificada antes de derivar. Usar (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) com a=x+y e b=x-y.
  • Calcule:
(a-b)=(x+y)-(x-y)=2y,\qquad (a+b)=(x+y)+(x-y)=2x.
  • Portanto a esquerda simplifica para
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=(2y)(2x)=4xy.
  • A equação fica então
4xy = x^{3}+y^{3}.

Passo 3

Derivação implícita do Exercício 27 — diferenciar ambos os lados.
  • Vamos derivar cada lado em relação a x. Lembrando:
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
    • Derivada de y^{3} é 3y^{2}\dfrac{dy}{dx} (regra da cadeia).
  • Derivando o lado esquerdo 4xy (constante 4 vezes produto x\cdot y):
\dfrac{d}{dx}[4xy]=4\left(\dfrac{d}{dx}[x]\cdot y + x\cdot \dfrac{d}{dx}[y]\right)=4(1\cdot y + x\cdot \dfrac{dy}{dx})=4y+4x\dfrac{dy}{dx}.
  • Derivando o lado direito x^{3}+y^{3}:
\dfrac{d}{dx}[x^{3}+y^{3}]=3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Isolar \dfrac{dy}{dx} no Exercício 27.
  • Igualando as derivadas:
4y+4x\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}.
  • Reunir os termos com \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado e os termos sem \dfrac{dy}{dx} no outro:
4x\dfrac{dy}{dx}-3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4y.
  • Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\left(4x-3y^{2}\right)\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4y.
  • Finalmente,
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}-4y}{4x-3y^{2}}.
Esse é o resultado final para o exercício 27.

Passo 5

Resolução do Exercício 28 — estratégia e preparação.
  • A equação é y\sqrt{2}+3x+x\sqrt{1+y}=x.
  • Podemos derivar diretamente cada termo; haverá:
    • Derivada de y\sqrt{2} em relação a x: \sqrt{2}\dfrac{dy}{dx} (pois \sqrt{2} é constante).
    • Derivada de 3x é 3.
    • Derivada de x\sqrt{1+y} exige regra do produto: x vezes \sqrt{1+y}.
    • Derivada de \sqrt{1+y} usa regra da cadeia: se u=1+y então \dfrac{d}{dx}\sqrt{u}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'=\dfrac{1}{2\sqrt{1+y}}\dfrac{dy}{dx}.
  • Derivaremos ambos os lados em relação a x e depois isolaremos \dfrac{dy}{dx}.

Passo 6

Derivação implícita do Exercício 28 — calcular as derivadas termo a termo.
  • Derivada do lado esquerdo:
    • \dfrac{d}{dx}[y\sqrt{2}]=\sqrt{2}\dfrac{dy}{dx}.
    • \dfrac{d}{dx}[3x]=3.
    • Para \dfrac{d}{dx}[x\sqrt{1+y}] use regra do produto: \dfrac{d}{dx}[x\sqrt{1+y}]=1\cdot\sqrt{1+y}+x\cdot\dfrac{d}{dx}[\sqrt{1+y}] =\sqrt{1+y}+x\cdot\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1+y}}\dfrac{dy}{dx}\right).
  • Derivada do lado direito \dfrac{d}{dx}[x]=1.
  • Juntando tudo:
\sqrt{2}\dfrac{dy}{dx}+3+\sqrt{1+y}+x\cdot\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1+y}}\dfrac{dy}{dx}\right)=1.

Passo 7

Isolar \dfrac{dy}{dx} no Exercício 28 — organizar e resolver.
  • Mover o 1 para o lado esquerdo e agrupar constantes:
\sqrt{2}\dfrac{dy}{dx}+x\cdot\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1+y}}\dfrac{dy}{dx}\right)+3+\sqrt{1+y}-1=0.
  • Simplificar 3-1=2:
\left(\sqrt{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{1+y}}\right)\dfrac{dy}{dx}+2+\sqrt{1+y}=0.
  • Isolar \dfrac{dy}{dx}:
\left(\sqrt{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{1+y}}\right)\dfrac{dy}{dx} = -\bigl(2+\sqrt{1+y}\bigr).
  • Dividindo ambos os lados pelo coeficiente de \dfrac{dy}{dx}:
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2+\sqrt{1+y}}{\displaystyle \sqrt{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{1+y}} }.

Passo 8

Simplificação final do resultado do Exercício 28 (deixar mais “limpo”).
  • Colocar o denominador sobre um único quociente:
\sqrt{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{1+y}}=\dfrac{2\sqrt{2}\sqrt{1+y}+x}{2\sqrt{1+y}}.
  • Multiplicando numerador e denominador por 2\sqrt{1+y} obtemos:
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\bigl(2+\sqrt{1+y}\bigr)\,2\sqrt{1+y}}{2\sqrt{2}\sqrt{1+y}+x}.
  • Podemos desenvolver o numerador para uma forma alternativa e compacta. Observando que
2\sqrt{1+y}\bigl(2+\sqrt{1+y}\bigr)=2\bigl(1+y+2\sqrt{1+y}\bigr)=2\bigl(\sqrt{1+y}+1\bigr)^{2},
uma forma elegante é
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2\bigl(\sqrt{1+y}+1\bigr)^{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{1+y}+x}.
  • Ambas as formas são equivalentes; escolhi a última por ser mais compacta.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^{2}-4y}{4x-3y^{2}}
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2\bigl(\sqrt{1+y}+1\bigr)^{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{1+y}+x}

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