Exercício 3
Determinar os extremos de
sujeita à restrição
Passo 1
O enunciado pede que se determine os extremos (máximos e mínimos) da função sujeita à restrição. Informação dada:
- Função objetivo:
. - Restrição (curva onde a busca ocorre):
.
Pergunta explícita: encontrar os pontos
sobre a circunferência
em que
atinge valor máximo e valor mínimo, e os respectivos valores de
.
Passo 2
Qual a ideia geral (intuição): estamos otimizando uma função linear
sobre uma circunferência. Geometricamente, isso significa buscar, sobre a circunferência, os pontos que estão mais “na direção” em que
cresce. Uma ferramenta sistemática para isso é o método dos multiplicadores de Lagrange: ele diz que, em um extremo sujeito a uma restrição suave
, os gradientes de
e de
são paralelos.
Explicando gradiente de forma simples: o gradiente de uma função
é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por
. Se dois vetores são paralelos, um é múltiplo escalar do outro:
para algum escalar
.
Passo 3
Aplicando o método: defina a função da restrição
Calcule os gradientes:
Pela condição de Lagrange devemos ter
ou seja, o sistema
junto com a restrição
Passo 4
Resolver o sistema. Das duas primeiras equações temos, assumindo
e
(verifica-se que essas singularidades não produzem soluções válidas, pois se
a primeira equação seria
, impossível):
Igualando as expressões para
:
Substitua
na restrição:
Daí
Portanto os candidatos são os pontos
Passo 5
Avaliar
nesses pontos. Como
, podemos observar que quando
temos
. Assim:
- Para
: . - Para
: .
Comparando os valores,
é o máximo e
é o mínimo. Como a restrição é compacta (a circunferência fechada) e
é contínua, esses extremos são globais.
Passo 6
Comentário rápido — método alternativo (confirmação simples): parametrizando a circunferência por
temos
que atinge máximo
quando
(isto é,
, que dá
) e mínimo
no ponto oposto. Isso confirma o resultado anterior.