Exercício 3
Determinar os extremos de
f(x, y)=x-y
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}=25 .

Passo 1

O enunciado pede que se determine os extremos (máximos e mínimos) da função sujeita à restrição. Informação dada:
  • Função objetivo: f(x,y)=x-y.
  • Restrição (curva onde a busca ocorre): x^{2}+y^{2}=25.
Pergunta explícita: encontrar os pontos (x,y) sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=25 em que f atinge valor máximo e valor mínimo, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Qual a ideia geral (intuição): estamos otimizando uma função linear f(x,y)=x-y sobre uma circunferência. Geometricamente, isso significa buscar, sobre a circunferência, os pontos que estão mais “na direção” em que f cresce. Uma ferramenta sistemática para isso é o método dos multiplicadores de Lagrange: ele diz que, em um extremo sujeito a uma restrição suave g(x,y)=0, os gradientes de f e de g são paralelos.
Explicando gradiente de forma simples: o gradiente de uma função h(x,y) é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de h e é dado por \nabla h=(\partial h/\partial x,\;\partial h/\partial y). Se dois vetores são paralelos, um é múltiplo escalar do outro: \nabla f=\lambda\nabla g para algum escalar \lambda.

Passo 3

Aplicando o método: defina a função da restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-25.
Calcule os gradientes:
\nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y)=(1,\,-1),
\nabla g=(2x,\;2y).
Pela condição de Lagrange devemos ter
\nabla f=\lambda\nabla g,
ou seja, o sistema
1=2\lambda x, \qquad -1=2\lambda y,
junto com a restrição
x^{2}+y^{2}=25.

Passo 4

Resolver o sistema. Das duas primeiras equações temos, assumindo x\neq0 e y\neq0 (verifica-se que essas singularidades não produzem soluções válidas, pois se x=0 a primeira equação seria 1=0, impossível):
\lambda=\frac{1}{2x}, \qquad \lambda=-\frac{1}{2y}.
Igualando as expressões para \lambda:
\frac{1}{2x}=-\frac{1}{2y}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}=-\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad y=-x.
Substitua y=-x na restrição:
x^{2}+(-x)^{2}=2x^{2}=25\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{25}{2}.
Daí
x=\pm\frac{5}{\sqrt{2}},\qquad y=-x=\mp\frac{5}{\sqrt{2}}.
Portanto os candidatos são os pontos
\left(\frac{5}{\sqrt{2}},-\frac{5}{\sqrt{2}}\right) \quad\text{e}\quad \left(-\frac{5}{\sqrt{2}},\frac{5}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Avaliar f nesses pontos. Como f(x,y)=x-y, podemos observar que quando y=-x temos f= x-(-x)=2x. Assim:
  • Para x=\dfrac{5}{\sqrt{2}}: f=2\cdot\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}.
  • Para x=-\dfrac{5}{\sqrt{2}}: f=2\cdot\left(-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)=-5\sqrt{2}.
Comparando os valores, 5\sqrt{2} é o máximo e -5\sqrt{2} é o mínimo. Como a restrição é compacta (a circunferência fechada) e f é contínua, esses extremos são globais.

Passo 6

Comentário rápido — método alternativo (confirmação simples): parametrizando a circunferência por
x=5\cos t,\qquad y=5\sin t,
temos
f(t)=5(\cos t-\sin t)=5\sqrt{2}\cos\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right),
que atinge máximo 5\sqrt{2} quando \cos\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1 (isto é, t=-\pi/4, que dá (x,y)=(5/\sqrt{2},-5/\sqrt{2})) e mínimo -5\sqrt{2} no ponto oposto. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \text{Máximo global: }f_{\max}=5\sqrt{2}á em \left(\dfrac{5}{\sqrt{2}},-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)
\displaystyle \text{Mínimo global: }f_{\min}=-5\sqrt{2}í em \left(-\dfrac{5}{\sqrt{2}},\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)

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