Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
ly^2(1-x^2)^12 d y=arcsen x d x y(0)=0

Passo 1

Estamos com o problema de valor inicial
y^2,raiz1-x^2,dy = arcsin(x),dx, y(0)=0
O conteúdo é equação diferencial separável: queremos isolar y de um lado e x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por raiz1-x^2 e por y^2:
y^2,dy = arcsin(x)raiz1-x^2,dx

Passo 3

Integre cada lado. No lado esquerdo,
integral y^2,dy = y^33 + C1
No lado direito, faça a substituição u=arcsin(x), então du = 1raiz1-x^2,dx, logo
integral arcsin(x)raiz1-x^2,dx = integral u,du = u^22 + C2 = (arcsin(x))^22 + C2

Passo 4

Igualando as integrais e reunindo constantes em C, obtemos
y^33 = (arcsin(x))^22 + C
Use a condição inicial y(0)=0, sabendo que arcsin(0)=0, para achar C=0. Assim
y^33 = (arcsin(x))^22 Longrightarrow y^3 = 32,(arcsin(x))^2

Passo 5

Extraia y pela raiz cúbica para obter a solução explícita:
y(x) = l(tfrac32,(arcsin(x))^2r)^!1/3 = l(tfrac32r)^!1/3,(arcsin(x))^2/3

Passo 6

O domínio natural da equação original exige raiz1-x^2neq0 e arcsin(x) definido. Isso limita x a -1<x<1. O maior intervalo contendo x=0 em que a solução existe e é única é
(-1,1)

Resposta

y(x) = l(tfrac32r)^!1/3,(arcsin(x))^2/3, xin(-1,1)

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