Exemplo 6

Determine a equação cartesiana da reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2-s \\\ y=1+3 s\end{array} ; s \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica:
x=2-s,\qquad y=1+3s,\qquad s\in\mathbb{R}.
O que se pede: determinar a equação cartesiana da reta r — isto é, uma equação envolvendo apenas x e y (sem o parâmetro s) que descreva a mesma reta.

Passo 2

Entender o que as equações paramétricas significam (aula rápida e prática).
  • O parâmetro s varia em \mathbb{R} e gera todos os pontos da reta.
  • Podemos identificar um ponto da reta (quando s=0) e o vetor diretor da reta a partir dos coeficientes de s.
    • Ponto quando s=0: (x,y)=(2,1). Vou chamar esse ponto de P_0=(2,1).
    • Escrevendo as equações como x=2+(-1)\,s e y=1+3\,s, o vetor diretor é \vec{v}=(-1,\,3).
    • Interpretação: partir de P_0 e adicionando múltiplos de \vec{v} obtém-se qualquer ponto da reta.

Passo 3

Método direto (eliminação do parâmetro) — passo a passo bem mastigado.
  • Da equação x=2-s isolamos s: s=2-x.
  • Substituímos esse s na expressão de y: y=1+3s.
  • Substituindo s=2-x obtemos y=1+3(2-x).
  • Agora simplificamos a expressão (operações algébricas simples: distribuir o 3 e somar constantes): y=1+6-3x.
y=7-3x.
Essa é uma forma cartesiana (forma explícita) da reta: \,y=7-3x\,. Em provas costuma-se apresentar também a forma linear geral (forma padrão) sem frações nem denominadores.

Passo 4

Método alternativo (usado frequentemente em geometria analítica): obter a forma linear generalizada usando um vetor normal.
  • Um vetor normal \vec{n}=(a,b) é ortogonal ao vetor diretor \vec{v}=(-1,3), isto é, satisfaz \vec{n}\cdot\vec{v}=0.
  • Escolhendo \vec{n}=(3,1) verifica-se: \vec{n}\cdot\vec{v}=3\cdot(-1)+1\cdot3=-3+3=0,logo \vec{n}=(3,1) é normal à reta.
  • A equação cartesiana usando \vec{n} e o ponto P_0=(2,1) escreve-se como produto escalar nulo: \vec{n}\cdot\big((x,y)-P_0\big)=0.
  • Desenvolvendo: 3(x-2)+1(y-1)=0.
3x-6+y-1=0.
3x+y-7=0.
Essa é a forma linear padrão da reta.

Passo 5

Resumo e dica prática para a prova:
  • Método mais rápido na maioria das questões: isolar s em uma das equações e substituir na outra (como em Passo 3).
  • Se pedirem a forma geral (coeficientes inteiros, sem sinal de y=\cdots), use o método do vetor normal (como em Passo 4) para escrever na forma ax+by+c=0.
  • Lembre-se: ponto = substituir s=0 para obter um ponto referência; vetor diretor = coeficientes de s.

Resposta

3x+y-7=0

Exercícios relacionados