Exemplo 6
Determine a equação cartesiana da reta
.
Passo 1
O enunciado dá a reta
em forma paramétrica:
O que se pede: determinar a equação cartesiana da reta
— isto é, uma equação envolvendo apenas
e
(sem o parâmetro
) que descreva a mesma reta.
Passo 2
Entender o que as equações paramétricas significam (aula rápida e prática).
- O parâmetro
varia em e gera todos os pontos da reta. - Podemos identificar um ponto da reta (quando
) e o vetor diretor da reta a partir dos coeficientes de . - Ponto quando
: . Vou chamar esse ponto de . - Escrevendo as equações como
e , o vetor diretor é - Interpretação: partir de
e adicionando múltiplos de obtém-se qualquer ponto da reta.
- Ponto quando
Passo 3
Método direto (eliminação do parâmetro) — passo a passo bem mastigado.
- Da equação
isolamos : - Substituímos esse
na expressão de : - Substituindo
obtemos - Agora simplificamos a expressão (operações algébricas simples: distribuir o
e somar constantes):
Essa é uma forma cartesiana (forma explícita) da reta:
. Em provas costuma-se apresentar também a forma linear geral (forma padrão) sem frações nem denominadores.
Passo 4
Método alternativo (usado frequentemente em geometria analítica): obter a forma linear generalizada usando um vetor normal.
- Um vetor normal
é ortogonal ao vetor diretor , isto é, satisfaz . - Escolhendo
verifica-se: logo é normal à reta. - A equação cartesiana usando
e o ponto escreve-se como produto escalar nulo: - Desenvolvendo:
Essa é a forma linear padrão da reta.
Passo 5
Resumo e dica prática para a prova:
- Método mais rápido na maioria das questões: isolar
em uma das equações e substituir na outra (como em Passo 3). - Se pedirem a forma geral (coeficientes inteiros, sem sinal de
), use o método do vetor normal (como em Passo 4) para escrever na forma . - Lembre-se: ponto = substituir
para obter um ponto referência; vetor diretor = coeficientes de .