Exemplo 8

Determine as equações cartesianas das retas r_{1} e r_{2} que passam pelo ponto A=(3,1) e fazem um ângulo de \pi / 4 com a reta r: 2 x+y=2.

Solução.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dado o ponto A=(3,1).
  • Dada a reta r com equação 2x+y=2.
  • Pedir: determinar as equações cartesianas das retas r_{1} e r_{2} que passam por A e fazem um ângulo de \pi/4 com a reta r.

Passo 2

Primeiro, lembrar como obter a inclinação (coeficiente angular) de uma reta escrita na forma geral Ax+By+C=0.
  • Isolar y: Ax+By+C=0 \Rightarrow By = -Ax - C \Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}.
  • Portanto o coeficiente angular (slope) é -\dfrac{A}{B}.

Passo 3

Aplicando isso à reta r dada por 2x+y=2:
  • Escrevendo como y=-2x+2, fica claro que o coeficiente angular de r é
m=\,-2.

Passo 4

Agora: relação entre coeficientes angulares e ângulos. Se uma reta tem coeficiente angular m, então o ângulo que essa reta faz com o eixo x (medido pelo arco cuja tangente é o coeficiente) é \alpha=\arctan(m).
Se queremos uma reta que faça um ângulo de \pi/4 com r, então seu ângulo com o eixo é \alpha\pm\pi/4. Assim o novo coeficiente angular m' pode ser obtido por
m'=\tan\bigl(\arctan(m)\pm \tfrac{\pi}{4}\bigr).
Usando a fórmula da tangente da soma:
\tan(a\pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\,\tan b},
com \tan a = m e \tan b = \tan(\tfrac{\pi}{4})=1, obtemos a fórmula prática
m'=\frac{m\pm 1}{1 \mp m}.
Essa fórmula gera dois valores (o sinal + e o sinal -), correspondendo às duas retas que fazem \pi/4 com r.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula com m=-2.
  • Para a escolha + no numerador (isto é \alpha+\tfrac{\pi}{4}):
m_{1}=\frac{m+1}{1-m}=\frac{-2+1}{1-(-2)}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Para a escolha - no numerador (isto é \alpha-\tfrac{\pi}{4}):
m_{2}=\frac{m-1}{1+m}=\frac{-2-1}{1+(-2)}=\frac{-3}{-1}=3.
Portanto os coeficientes angulares procurados são m_{1}=-\tfrac{1}{3} e m_{2}=3.

Passo 6

Montar agora as equações das retas que passam por A=(3,1) em forma ponto-declive (point-slope):
\text{reta: } y-1 = m(x-3).
Fazer isso para cada m.
Para m_{1}=-\tfrac{1}{3}:
y-1 = -\tfrac{1}{3}(x-3).
Multiplicando por 3 para ficar em forma inteira:
3(y-1)=-(x-3).
Expandindo:
3y-3 = -x+3.
Reorganizando para forma cartesiana padrão:
x+3y-6=0.
Para m_{2}=3:
y-1 = 3(x-3).
Expandindo:
y-1 = 3x-9.
Reorganizando:
-3x+y+8=0,
ou multiplicando por -1 para aparência mais comum,
3x - y -8 = 0.

Passo 7

Como verificação rápida (opcional mas útil): podemos checar usando a fórmula do ângulo entre retas com coeficientes m e m',
\tan(\theta)=\left|\frac{m'-m}{1+mm'}\right|.
Para m=-2 e m_{1}=-\tfrac{1}{3}:
\left|\frac{-\tfrac{1}{3}-(-2)}{1+(-2)\cdot(-\tfrac{1}{3})}\right| = \left|\frac{\tfrac{5}{3}}{1+\tfrac{2}{3}}\right| = \left|\frac{\tfrac{5}{3}}{\tfrac{5}{3}}\right|=1,
logo \theta=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Para m_{2}=3 a verificação é análoga. Assim as duas retas realmente fazem \pi/4 com r.

Resposta

x+3y-6=0
3x-y-8=0

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