Determine as equações cartesianas das retas r_{1} e r_{2} que passam pelo ponto A=(3,1) e fazem um ângulo de \pi / 4 com a reta r: 2 x+y=2.
Solução.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Dado o ponto A=(3,1).
Dada a reta r com equação 2x+y=2.
Pedir: determinar as equações cartesianas das retas r_{1} e r_{2} que passam por A e fazem um ângulo de \pi/4 com a reta r.
Passo 2
Primeiro, lembrar como obter a inclinação (coeficiente angular) de uma reta escrita na forma geral Ax+By+C=0.
Isolar y: Ax+By+C=0 \Rightarrow By = -Ax - C \Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}.
Portanto o coeficiente angular (slope) é -\dfrac{A}{B}.
Passo 3
Aplicando isso à reta r dada por 2x+y=2:
Escrevendo como y=-2x+2, fica claro que o coeficiente angular de r é
m=\,-2.
Passo 4
Agora: relação entre coeficientes angulares e ângulos. Se uma reta tem coeficiente angular m, então o ângulo que essa reta faz com o eixo x (medido pelo arco cuja tangente é o coeficiente) é \alpha=\arctan(m).
Se queremos uma reta que faça um ângulo de \pi/4 com r, então seu ângulo com o eixo é \alpha\pm\pi/4. Assim o novo coeficiente angular m' pode ser obtido por
m'=\tan\bigl(\arctan(m)\pm \tfrac{\pi}{4}\bigr).
Usando a fórmula da tangente da soma:
\tan(a\pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\,\tan b},
com \tan a = m e \tan b = \tan(\tfrac{\pi}{4})=1, obtemos a fórmula prática
m'=\frac{m\pm 1}{1 \mp m}.
Essa fórmula gera dois valores (o sinal + e o sinal -), correspondendo às duas retas que fazem \pi/4 com r.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula com m=-2.
Para a escolha + no numerador (isto é \alpha+\tfrac{\pi}{4}):