Exemplo 7
Determine as equações paramétricas da reta
.
Solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da reta
e pede para determinar as equações paramétricas dessa reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação cartesiana da reta é
. - Precisamos obter uma representação em função de um parâmetro (normalmente chamado
), ou seja, expressar e em termos de .
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): uma reta no plano pode ser escrita como um ponto conhecido da reta mais um vetor direção multiplicado por um parâmetro. Escrevendo em forma vetorial,
onde
é um ponto da reta e
é um vetor direção. Para obter
a partir da equação
, note que
é um vetor normal à reta (porque seus componentes são os coeficientes de
e
). O vetor direção
deve ser ortogonal ao vetor normal, ou seja deve satisfazer
Vamos achar um vetor
com componentes inteiras que satisfaça isso.
Passo 3
Escolhendo
, a equação
fica
Logo um vetor direção é
.
Agora precisamos de um ponto que satisfaça a equação da reta. Um jeito simples é escolher
e resolver para
:
Agora precisamos de um ponto
Portanto um ponto da reta é
. Verificação rápida: ao substituir
,
na equação original obtemos
, correto.
Passo 4
Com
e
podemos escrever a forma vetorial paramétrica:
Escrevendo em equações escalares paramétricas (separando componentes) obtemos:
onde
. Para verificar que isso realmente descreve a reta, substituímos na equação original:
logo a igualdade é satisfeita para todo
.
Passo 5
Alternativa (forma direta): também se pode tomar
como parâmetro. Da equação original isolando
vem
Se
, então
que é outra parametrização equivalente (apenas usa um parâmetro diferente). Ambas as formas estão corretas; a primeira apresentada (
) costuma ser mais prática porque usa um ponto inteiro e um vetor direção com componentes inteiras.