Exemplo 7

Determine as equações paramétricas da reta r: 4 x+3 y=16.

Solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da reta
4x+3y=16
e pede para determinar as equações paramétricas dessa reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação cartesiana da reta é \,4x+3y=16\,.
  • Precisamos obter uma representação em função de um parâmetro (normalmente chamado t), ou seja, expressar x e y em termos de t.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): uma reta no plano pode ser escrita como um ponto conhecido da reta mais um vetor direção multiplicado por um parâmetro. Escrevendo em forma vetorial,
\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}_0+t\mathbf{v},
onde \mathbf{p}_0 é um ponto da reta e \mathbf{v} é um vetor direção. Para obter \mathbf{v} a partir da equação 4x+3y=16, note que (4,3) é um vetor normal à reta (porque seus componentes são os coeficientes de x e y). O vetor direção \mathbf{v} deve ser ortogonal ao vetor normal, ou seja deve satisfazer
4v_x+3v_y=0.
Vamos achar um vetor \mathbf{v} com componentes inteiras que satisfaça isso.

Passo 3

Escolhendo v_x=3, a equação 4v_x+3v_y=0 fica
4\cdot 3 + 3 v_y = 0 \quad\Rightarrow\quad 12+3v_y=0 \quad\Rightarrow\quad v_y=-4.
Logo um vetor direção é \mathbf{v}=(3,-4).
Agora precisamos de um ponto \mathbf{p}_0 que satisfaça a equação da reta. Um jeito simples é escolher y=0 e resolver para x:
4x+3\cdot 0=16 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Portanto um ponto da reta é \mathbf{p}_0=(4,0). Verificação rápida: ao substituir x=4, y=0 na equação original obtemos 4\cdot4+3\cdot0=16, correto.

Passo 4

Com \mathbf{p}_0=(4,0) e \mathbf{v}=(3,-4) podemos escrever a forma vetorial paramétrica:
\mathbf{r}(t) = (4,0) + t(3,-4),\qquad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo em equações escalares paramétricas (separando componentes) obtemos:
x=4+3t,
y=-4t,
onde t\in\mathbb{R}. Para verificar que isso realmente descreve a reta, substituímos na equação original:
4x+3y = 4(4+3t)+3(-4t)=16+12t-12t=16,
logo a igualdade é satisfeita para todo t.

Passo 5

Alternativa (forma direta): também se pode tomar t=x como parâmetro. Da equação original isolando y vem
y=\dfrac{16-4x}{3}.
Se x=t, então
x=t,\qquad y=\dfrac{16-4t}{3},\qquad t\in\mathbb{R},
que é outra parametrização equivalente (apenas usa um parâmetro diferente). Ambas as formas estão corretas; a primeira apresentada ( x=4+3t,\;y=-4t) costuma ser mais prática porque usa um ponto inteiro e um vetor direção com componentes inteiras.

Resposta

x=4+3t,\qquad y=-4t,\qquad t\in\mathbb{R}

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