• EXEMPLO 3: Determine
    \mathrm{Q}, \mathrm{W} e \Delta \mathrm{U} para os seguintes processos:
    64 g de \mathrm{O}_{2(9)}, se comportando como um gás ideal, inicialmente a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm}, sofrem uma expansão adiabática contra uma pressão de oposição constante de 0,1 atm até dobrar seu volume. Dado: \mathrm{MO}_{2(\mathrm{~g})}=32,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine Q, W e \Delta U para o processo descrito. Informações fornecidas (vou listar tudo que vamos usar):
  • Massa de \mathrm{O}_2: 64\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar de \mathrm{O}_2: M_{\mathrm{O}_2}=32{,}0\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (dado).
  • Estado inicial: temperatura 0^\circ\mathrm{C} e pressão 1{,}0\\ \mathrm{atm}. Vou usar \;0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Processo: expansão adiabática contra pressão externa constante P_{\text{ext}}=0{,}1\\ \mathrm{atm} até dobrar o volume (ou seja, V_2=2V_1).
  • Comportamento: gás perfeito (ideal).
    Perguntas explícitas: calcular Q, W e \Delta U para esse processo.

Passo 2

Calcular o número de mols n a partir da massa e da massa molar. A fórmula é
n=\frac{\text{massa}}{M}.
Substituindo os valores:
n=\frac{64\\ \mathrm{g}}{32{,}0\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}=2{,}00\\ \mathrm{mol}.
Explicação curta: dividir a massa pela massa de 1 mol dá a quantidade de mols.

Passo 3

Determinar o volume inicial V_1 usando a equação dos gases ideais. A forma é
PV=nRT,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases, T temperatura absoluta. Vou usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} para obter volumes em litros quando P está em atm.
Logo
V_1=\frac{nRT_1}{P_1}.
Substituindo:
V_1=\frac{2{,}00\cdot 0{,}082057\cdot 273{,}15}{1{,}0}\\ \mathrm{L}\approx 44{,}828\\ \mathrm{L}.
Observação: é o mesmo que lembrar que 1 mol em CNTP ocupa 22{,}414\\ \mathrm{L}; para 2 mols dá 44{,}828\\ \mathrm{L}.
Como o volume dobra,
V_2=2V_1\approx 89{,}656\\ \mathrm{L}.

Passo 4

Explicar o que significa “adiabático” e implicação para Q.
  • Adiabático significa que não há troca de calor entre sistema e vizinhança. Portanto:
Q=0.
Fácil e importante: adiabático → Q=0.

Passo 5

Calcular o trabalho W. Primeiro explico convenção de sinais e fórmula usada:
  • Vou usar a convenção padrão aqui: W é o trabalho feito pelo gás sobre o ambiente (energia que sai do sistema pelo trabalho). Com essa convenção a Primeira Lei fica
\Delta U = Q - W.
  • Para uma expansão irreversível contra pressão externa constante P_{\text{ext}}, o trabalho realizado pelo gás é
W = P_{\text{ext}}\,(V_2-V_1).
(Explicação simples: o gás empurra contra uma pressão externa fixa; a integral \int P_{\text{ext}}\,dV dá essa expressão.)
Substituindo valores (em unidades L·atm primeiro):
W = 0{,}1\\ \mathrm{atm}\cdot (V_2-V_1)=0{,}1\cdot(V_1)=0{,}1\cdot 44{,}828\\ \mathrm{L\cdot atm}=4{,}4828\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Agora converto para joules usando 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}:
W=4{,}4828\cdot 101{,}325\\ \mathrm{J}\approx 454{,}23\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente, W\approx 454{,}2\\ \mathrm{J}.
Comentário didático: o trabalho é positivo porque o gás realiza trabalho ao expandir (energia sai do sistema).

Passo 6

Calcular \Delta U usando a Primeira Lei e propriedades do gás ideal.
  • Como visto, \Delta U=Q-W e já temos Q=0, então
\Delta U = -W.
Logo, numericamente,
\Delta U=-454{,}23\\ \mathrm{J}\approx -454{,}2\\ \mathrm{J}.
Explicação física: a energia interna do gás diminuiu porque o gás gastou energia fazendo trabalho enquanto não recebeu calor (processo adiabático irreversível).

Passo 7

Verificação usando capacidade calorífica molar: para um gás diatômico ideal (como \mathrm{O}_2) nas condições usuais vibracionais não excitadas, a capacidade calorífica molar a volume constante é
C_{V,m}=\frac{5}{2}R,
porque um gás diatômico possui f=5 graus de liberdade (3 translação + 2 rotação) e C_{V,m}=(f/2)R. Aqui R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Calculo de \Delta T para confirmar consistência:
C_{V,m}=\frac{5}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=20{,}785\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Capacidade total do sistema:
C_V=nC_{V,m}=2{,}00\cdot 20{,}785=41{,}57\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Como \Delta U=C_V\Delta T, temos
\Delta T=\frac{\Delta U}{C_V}=\frac{-454{,}23}{41{,}57}\\ \mathrm{K}\approx -10{,}93\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final é
T_2=T_1+\Delta T=273{,}15-10{,}93\\ \mathrm{K}\approx 262{,}22\\ \mathrm{K},
ou seja cerca de -10{,}93^\circ\mathrm{C}. Isso confirma que \Delta U negativo faz sentido físico: o gás resfria porque fez trabalho sem receber calor.

Resposta

Q=0\\ \mathrm{J}
W\approx 454{,}2\\ \mathrm{J} (trabalho feito pelo gás)
\Delta U\approx -454{,}2\\ \mathrm{J}

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