- EXEMPLO 3: Determine
e
para os seguintes processos:
de um gás de van der Waals, contido em um recipiente de paredes adiabáticas móveis, é expandido reversivelmente e isotermicamente, a
, de
para
. Dados para o gás:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar
,
e
para um processo reversível e isotérmico de expansão de
mol de um gás de van der Waals, das condições são:
constantes do gás:
e a equação de estado fornecida:
Informações que vamos precisar (já dadas ou usuais): constante dos gases
e a conversão
.
Passo 2
Entendendo as grandezas e o sinal das mesmas (convenção usada aqui):
-
é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente durante a expansão reversível; para um processo reversível . - A 1ª lei da termodinâmica, na forma habitual, é
onde
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra no sistema).
Portanto, se obtivermos e
podemos achar
por
. Vou determinar
(mudança de energia interna) e
explicitamente.
Portanto, se obtivermos
Passo 3
Como o gás é de van der Waals, a energia interna pode depender de
. Usamos a relação termodinâmica geral (derivada de identidades de Maxwell):
Agora calculamos
a partir da equação de van der Waals:
Substituindo:
Ou seja, para este modelo,
Passo 4
Como o processo é isotérmico,
é a integral de
de
a
:
Agora substituímos valores numéricos (unidades L·atm para começar):
Calculemos o parenteses:
Logo
Convertendo para joules usando
:
Portanto a energia interna aumenta em cerca de
durante a expansão isotérmica (isso vem do termo de interação
).
Passo 5
Agora calculamos o trabalho reversível
Integramos termo a termo (T e n constantes):
Observação: a segunda parcela aparece com sinal positivo depois da integração (ver detalhe das integrais).
Substituindo e valores numéricos em L·atm:
Substituindo
Calculamos
e
(dados de
e
):
Razão e logaritmo:
Logo o primeiro termo:
O segundo termo (já calculado parcialmente no passo de
):
Somando:
Convertendo para joules:
Passo 6
Finalmente, usando a 1ª lei
(ou
) temos:
Nota: se fizermos algebra simbólica antes de substituir números, notamos que os termos em
se cancelam e obtemos a forma simples:
o que confirma o valor numérico obtido.