Exemplo 5

Um disco isolante de raio R=4,8 \mathrm{~cm} contém uma carga total de q=+2,5 n C que está uniformemente distribuída sobre a sua superfície e se mantém em posições fixas. Um elétron que está inicialmente em repouso a uma distância de d =3,0 \mathrm{~cm} do disco ao longo de seu eixo. Quando o elétron é liberado, este é atraído para o disco. Qual a velocidade do elétron quando este colide com o centro do disco?

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Raio do disco: R=4{,}8\\ \mathrm{cm}=0{,}048\\ \mathrm{m}.
    • Carga total do disco (distribuída uniformemente sobre a superfície): q=+2{,}5\\ \mathrm{nC}=2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
    • Posição inicial do elétron (ao longo do eixo do disco): d=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
    • Elétron inicialmente em repouso.
  • Constantes que vamos usar:
    • Carga elementar: e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Massa do elétron: m_e=9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Permissividade do vácuo: \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a velocidade do elétron quando ele colide com o centro do disco (isto é, quando chega a z=0 no eixo).

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): a força elétrica do disco fará o elétron ganhar energia cinética ao se mover do ponto z=d até z=0. Vou calcular a diferença de energia potencial elétrica entre essas posições e usar conservação de energia para obter a energia cinética final e daí a velocidade. Para isso preciso da expressão do potencial elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado.

Passo 3

Derivação do potencial no eixo do disco (passo didático): representar o disco como soma de anéis concêntricos.
  • Considere um anel de raio r e espessura dr. A carga do anel é
dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr,
onde \sigma é a densidade superficial de carga do disco (C/m ^2).
  • Potencial no eixo, a distância z do centro, devido a esse anel (tratando o potencial zero no infinito) é
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}.
  • Substituindo dq e integrando r de 0 a R:
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}.
  • Fazer a substituição u=z^2+r^2 (ou reconhecer a primitiva) leva a
V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\Big).
Como aqui z\ge0 (o elétron está no eixo acima do disco), simplificamos para
V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{z^2+R^2}-z\big).
Explicação dos símbolos:
  • \sigma = densidade superficial de carga do disco (C/m ^2);
  • \varepsilon_0 = permissividade do vácuo;
  • z = posição ao longo do eixo medida a partir do centro do disco;
  • V(z) = potencial elétrico no ponto z (potencial zero no infinito).

Passo 4

Calcular a densidade superficial \sigma a partir da carga total q.
A área do disco é \pi R^2. Logo
\sigma=\frac{q}{\pi R^2}.
Substituindo os valores (em SI):
\sigma=\frac{2{,}5\times10^{-9}}{\pi(0{,}048)^2} \approx 3{,}45\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 5

Calcular o potencial no ponto inicial z=d e no centro z=0 usando a fórmula do Passo 3.
  • Primeiro, o fator \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \approx\frac{3{,}45\times10^{-7}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}} \approx 1{,}951\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
  • Potencial no ponto inicial z=d:
V(d)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{d^2+R^2}-d\big).
Calcule \sqrt{d^2+R^2}:
\sqrt{d^2+R^2}=\sqrt{(0{,}03)^2+(0{,}048)^2} =\sqrt{0{,}0009+0{,}002304}=\sqrt{0{,}003204}\approx 0{,}05660\\ \mathrm{m}.
Então
V(d)\approx 1{,}951\times10^{4}\times(0{,}05660-0{,}03) \approx 1{,}951\times10^{4}\times 0{,}02660 \approx 5{,}19\times10^{2}\\ \mathrm{V}.
  • Potencial no centro z=0:
V(0)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}R \approx 1{,}951\times10^{4}\times 0{,}048 \approx 9{,}37\times10^{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Energia potencial elétrica do elétron e conservação de energia.
  • Carga do elétron é q_e=-e.
  • Energia potencial elétrica em um ponto com potencial V é U=q_e V.
  • Conservação de energia (inicial K_i+U_i = final K_f+U_f). Como K_i=0,
K_f = U_i - U_f = q_e\big(V(d)-V(0)\big).
Substituindo q_e=-e:
K_f = -e\big(V(d)-V(0)\big)=e\big(V(0)-V(d)\big).
Isso dá um K_f positivo porque V(0)>V(d) (o disco é positivo e o potencial diminui com z).
  • Calcule numericamente:
V(0)-V(d)\approx 9{,}37\times10^{2}-5{,}19\times10^{2}=4{,}18\times10^{2}\\ \mathrm{V}.
Logo
K_f=e\cdot\big(V(0)-V(d)\big) \approx 1{,}602\times10^{-19}\times 4{,}18\times10^{2} \approx 6{,}69\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a velocidade final a partir da energia cinética.
A energia cinética clássica é
K_f=\tfrac{1}{2}m_e v^2.
Logo
v=\sqrt{\frac{2K_f}{m_e}}.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 6{,}69\times10^{-17}}{9{,}109\times10^{-31}}} \approx \sqrt{1{,}469\times10^{14}} \approx 1{,}21\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: essa velocidade é cerca de 4{,}0\% da velocidade da luz, então a aproximação não-relativística (energia cinética clássica) é razoável aqui.

Resposta

v\approx 1{,}21\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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