Exemplo 5
Um disco isolante de raio
contém uma carga total de
que está uniformemente distribuída sobre a sua superfície e se mantém em posições fixas. Um elétron que está inicialmente em repouso a uma distância de
do disco ao longo de seu eixo. Quando o elétron é liberado, este é atraído para o disco. Qual a velocidade do elétron quando este colide com o centro do disco?
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Raio do disco:
. - Carga total do disco (distribuída uniformemente sobre a superfície):
. - Posição inicial do elétron (ao longo do eixo do disco):
. - Elétron inicialmente em repouso.
- Raio do disco:
- Constantes que vamos usar:
- Carga elementar:
. - Massa do elétron:
. - Permissividade do vácuo:
.
- Carga elementar:
- O que o problema pede:
- Determinar a velocidade do elétron quando ele colide com o centro do disco (isto é, quando chega a
no eixo).
- Determinar a velocidade do elétron quando ele colide com o centro do disco (isto é, quando chega a
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): a força elétrica do disco fará o elétron ganhar energia cinética ao se mover do ponto
até
. Vou calcular a diferença de energia potencial elétrica entre essas posições e usar conservação de energia para obter a energia cinética final e daí a velocidade. Para isso preciso da expressão do potencial elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado.
Passo 3
Derivação do potencial no eixo do disco (passo didático): representar o disco como soma de anéis concêntricos.
- Considere um anel de raio
e espessura . A carga do anel é
onde
é a densidade superficial de carga do disco (C/m
).
- Potencial no eixo, a distância
do centro, devido a esse anel (tratando o potencial zero no infinito) é
- Substituindo
e integrando de a :
- Fazer a substituição
(ou reconhecer a primitiva) leva a
Como aqui
(o elétron está no eixo acima do disco), simplificamos para
Explicação dos símbolos:
-
= densidade superficial de carga do disco (C/m ); -
= permissividade do vácuo; -
= posição ao longo do eixo medida a partir do centro do disco; -
= potencial elétrico no ponto (potencial zero no infinito).
Passo 4
Calcular a densidade superficial
a partir da carga total
.
A área do disco é
. Logo
Substituindo os valores (em SI):
Passo 5
Calcular o potencial no ponto inicial
e no centro
usando a fórmula do Passo 3.
- Primeiro, o fator
:
- Potencial no ponto inicial
:
Calcule
:
Então
- Potencial no centro
:
Passo 6
Energia potencial elétrica do elétron e conservação de energia.
- Carga do elétron é
. - Energia potencial elétrica em um ponto com potencial
é . - Conservação de energia (inicial
= final ). Como ,
Substituindo
:
Isso dá um
positivo porque
(o disco é positivo e o potencial diminui com
).
- Calcule numericamente:
Logo
Passo 7
Calcular a velocidade final a partir da energia cinética.
A energia cinética clássica é
Logo
Substituindo os valores:
Observação rápida: essa velocidade é cerca de
da velocidade da luz, então a aproximação não-relativística (energia cinética clássica) é razoável aqui.