Uma sala de estar tem 4,2 \mathrm{~m} de comprimento, 3,5 \mathrm{~m} de largura e 2,4 \mathrm{~m} de altura.
a) Qual é o peso do ar contido na sala se a pressão do ar é 1,0 \mathrm{~atm} ? b) Qual é o módulo da força que a atmosfera exerce, de cima para baixo, sobre a cabeça de uma pessoa, que tem uma área da ordem de 0,040 m^{2} ?

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tudo o que foi dado):
  • Dimensões da sala:
    • comprimento =4{,}2\\ \mathrm{m}
    • largura =3{,}5\\ \mathrm{m}
    • altura =2{,}4\\ \mathrm{m}
  • Pressão do ar: 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Área da cabeça (para a parte b): 0{,}040\\ \mathrm{m}^{2}.
O que o enunciado pede:
  • (a) Qual é o peso (força peso, em newtons) do ar contido na sala, dado que a pressão é 1{,}0\\ \mathrm{atm}?
  • (b) Qual é o módulo da força que a atmosfera exerce, de cima para baixo, sobre a cabeça de uma pessoa com área 0{,}040\\ \mathrm{m}^{2}?
Observação importante (sem pedir nada a mais): o enunciado não informa a temperatura. Para poder calcular a massa do ar usando a lei dos gases ideais, vou assumir uma temperatura ambiente típica T=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}. Isso é uma suposição razoável para exercícios de sala de física; se o enunciado pedisse precisão absoluta, precisaríamos do valor exato da temperatura.

Passo 2

Calcular o volume da sala. A fórmula do volume de um paralelepípedo é V= comprimento \times largura \times altura. Substituindo os valores:
V = 4{,}2 \times 3{,}5 \times 2{,}4 = 35{,}28\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Explicar a lei dos gases ideais e as constantes que vamos usar. A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão absoluta (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^{3}),
  • n é a quantidade de substância em mol,
  • R é a constante dos gases ideais, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
A massa total do ar é dada por
m = n M,
onde M é a massa molar média do ar. Tomamos M \approx 0{,}029\\ \mathrm{kg/mol} (≈ 29\\ \mathrm{g/mol}), valor típico para ar seco.
Também precisaremos da gravidade para obter o peso:
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Converter a pressão dada em atm para pascal:
1{,}0\\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o número de mols n usando n = \dfrac{PV}{RT}. Substituindo os valores:
n = \frac{(1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(35{,}28\\ \mathrm{m}^{3})}{(8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)})\times(293\\ \mathrm{K})}.
Fazendo as contas passo a passo:
\text{numerador} = 1{,}013\times10^{5}\times35{,}28 \approx 3{,}573864\times10^{6},
\text{denominador} = 8{,}314\times293 \approx 2436{,}0.
Logo
n \approx \frac{3{,}573864\times10^{6}}{2436{,}0} \approx 1{,}469\times10^{3}\\ \text{mol}.

Passo 5

Calcular a massa do ar a partir de m = nM. Substituindo:
m \approx 1{,}469\times10^{3}\\ \mathrm{mol}\times 0{,}029\\ \mathrm{kg/mol} \approx 42{,}6\\ \mathrm{kg}.
(Interpretação: a sala contém aproximadamente 42{,}6\\ \mathrm{kg} de ar.)

Passo 6

Calcular o peso (força) do ar: W = m g. Substituindo:
W = 42{,}6\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 417\\ \mathrm{N}.
Em notação científica e com arredondamento adequado:
W \approx 4{,}17\times10^{2}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a força que a atmosfera exerce sobre a cabeça da pessoa (parte b). A força exercida por uma pressão uniforme sobre uma área é
F = P A,
onde P é a pressão em pascal e A a área em \mathrm{m}^{2}. Usando P=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e A=0{,}040\\ \mathrm{m}^{2}:
F = (1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(0{,}040\\ \mathrm{m}^{2}) \approx 4{,}052\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
F \approx 4{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Comentário físico rápido (para não confundir): esse é o módulo da força atmosférica de cima para baixo sobre a área da cabeça; no corpo humano essa enorme força é equilibrada por pressões internas e forças de baixo para cima, por isso não somos esmagados.

Resposta

(a) W \approx 4{,}17\times10^{2}\\ \mathrm{N} (equivalente a uma massa de ar \approx 42{,}6\\ \mathrm{kg}).
(b) F \approx 4{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{N}.

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