Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis
e
tais que
seja:
não-enumerável.
não-enumerável.
Passo 1
Então, o enunciado pede: “Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis
e
tais que
também seja não-enumerável.”
Matéria: teoria de conjuntos e cardinalidade (enumerabilidade vs. não-enumerabilidade).
O que vamos precisar:
Matéria: teoria de conjuntos e cardinalidade (enumerabilidade vs. não-enumerabilidade).
O que vamos precisar:
- Entender o que significa “enumerável” (contável) e “não-enumerável” (incontável).
- Saber que qualquer intervalo real fechado
, com , é não-enumerável (teorema de Cantor).
Passo 2
Vamos escolher dois intervalos fechados em
que se sobrepõem de modo que essa “parte comum” seja outro intervalo de comprimento >0. A proposta mais simples é:
Por que cada um é não-enumerável?
- Definição: um conjunto é enumerável se existe bijeção com
. - Teorema de Cantor: qualquer intervalo fechado
, com , não pode ser colocado em bijeção com . Logo, é não-enumerável.
Assim,e são não-enumeráveis.
Passo 3
Agora, qual é
?
Esse é outro intervalo fechado de comprimento
, e de novo, por Cantor, todo intervalo
com
é não-enumerável. Portanto,
também é não-enumerável.
Resposta
Uma escolha que funciona é
onde todos os três conjuntos são não-enumeráveis.