Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis A e B tais que A cap B seja:
não-enumerável.

Passo 1

Então, o enunciado pede: “Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis e tais que também seja não-enumerável.”
Matéria: teoria de conjuntos e cardinalidade (enumerabilidade vs. não-enumerabilidade).
O que vamos precisar:
  1. Entender o que significa “enumerável” (contável) e “não-enumerável” (incontável).
  2. Saber que qualquer intervalo real fechado , com , é não-enumerável (teorema de Cantor).

Passo 2

Vamos escolher dois intervalos fechados em A = [0,2] e B = [1,3] que se sobrepõem de modo que essa “parte comum” seja outro intervalo de comprimento >0. A proposta mais simples é:
Por que cada um é não-enumerável?
  • Definição: um conjunto é enumerável se existe bijeção com .
  • Teorema de Cantor: qualquer intervalo fechado , com , não pode ser colocado em bijeção com . Logo, é não-enumerável.
    Assim, e são não-enumeráveis.

Passo 3

Agora, qual é Acap B = [0,2]cap [1,3] = [1,2] ?
Esse é outro intervalo fechado de comprimento , e de novo, por Cantor, todo intervalo com é não-enumerável. Portanto, também é não-enumerável.

Resposta

Uma escolha que funciona é
A = [0,2], B = [1,3], Acap B = [1,2],
onde todos os três conjuntos são não-enumeráveis.

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