Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis A e B tais que A cap B seja:
finito;

Passo 1

Beleza, a ideia é encontrar dois conjuntos não-enumeráveis (ou seja, “incontáveis”, como o intervalo dos números reais) cuja intersecção seja um conjunto com poucos elementos (ou até vazio). A matéria aqui é teoria de conjuntos e cardinalidade: lembrar que um conjunto é não-enumerável (incontável) quando não dá pra listar todos os seus elementos numa sequência infinita tipo “1, 2, 3, …”. Vamos usar intervalos de R, que a gente já sabe que são incontáveis, e escolher de modo que se toquem só em um ou poucos pontos.

Passo 2

Definição rápida de “enumerável” e “não-enumerável”:
  • Um conjunto X é enumerável (ou contável) se dá pra fazer uma bijeção entre X e os naturais N (ou com um subconjunto de N).
  • Se não tem essa bijeção, falamos que X é não-enumerável (ou incontável).
    Exemplo clássico: qualquer intervalo real [a,b] é não-enumerável.

Passo 3

Escolhendo os conjuntos. Que tal:
A = [0,1], B = [1,2]
- Cada um é um intervalo fechado de R, então ambos são não-enumeráveis.
- Agora vamos ver a intersecção Acap B.

Passo 4

Calcular Acap B:
  • [0,1] e [1,2] só “se encontram” no ponto 1.
    Logo
Acap B = 1,
que é um conjunto com exatamente um elemento (logo, finito).

Resposta

Um exemplo simples é
A = [0,1], B = [1,2],
ambos não-enumeráveis, e
A cap B = 1,
que é finito.

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