Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis
e
tais que
seja:
finito;
finito;
Passo 1
Beleza, a ideia é encontrar dois conjuntos não-enumeráveis (ou seja, “incontáveis”, como o intervalo dos números reais) cuja intersecção seja um conjunto com poucos elementos (ou até vazio). A matéria aqui é teoria de conjuntos e cardinalidade: lembrar que um conjunto é não-enumerável (incontável) quando não dá pra listar todos os seus elementos numa sequência infinita tipo “1, 2, 3, …”. Vamos usar intervalos de
, que a gente já sabe que são incontáveis, e escolher de modo que se toquem só em um ou poucos pontos.
Passo 2
Definição rápida de “enumerável” e “não-enumerável”:
- Um conjunto
é enumerável (ou contável) se dá pra fazer uma bijeção entre e os naturais (ou com um subconjunto de ). - Se não tem essa bijeção, falamos que
é não-enumerável (ou incontável).
Exemplo clássico: qualquer intervalo realé não-enumerável.
Passo 3
Escolhendo os conjuntos. Que tal:
- Cada um é um intervalo fechado de
- Agora vamos ver a intersecção
Passo 4
Calcular
:
-
e só “se encontram” no ponto .
Logo
que é um conjunto com exatamente um elemento (logo, finito).
Resposta
Um exemplo simples é
ambos não-enumeráveis, e
que é finito.