Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis
e
tais que
seja:
infinito enumerável;
infinito enumerável;
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis
e
tais que
seja infinito enumerável.”
Conteúdo: teoria de cardinalidade (conjuntos enumeráveis vs. não-enumeráveis).
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de cardinalidade (conjuntos enumeráveis vs. não-enumeráveis).
O que vamos usar:
- Definição de conjunto enumerável (tem bijeção com
). - Exemplo clássico de conjunto não-enumerável: intervalos reais como
.
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, bora relembrar:
- Dizemos que um conjunto
é enumerável infinito se existe bijeção . Exemplos: . - Dizemos que
é não-enumerável (ou incontável) se não dá pra fazer bijeção com . Um exemplo clássico é o intervalo .
Passo 3
Ideia simples: juntar em cada conjunto um pedaço não-enumerável e também todos os naturais. Definimos:
– Como
é não-enumerável,
também não é (unir com
não “quebra” essa incontabilidade).
– Mesma lógica para usando
.
– Mesma lógica para
Passo 4
Vamos ver o que é
:
Usando a distributividade:
Calcule passo a passo:
-
, que é finito; -
; -
; -
.
Unindo tudo dá simplesmente, pois os pedacinhos finitos já estão contidos em .
Passo 5
Resumo das conclusões:
-
e são não-enumeráveis (cada um contém um intervalo real incontável). -
, que é infinito e enumerável.
Resposta
Um exemplo é
pois
que é infinito enumerável.