Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis A e B tais que A cap B seja:
infinito enumerável;

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de dois conjuntos não-enumeráveis e tais que seja infinito enumerável.”
Conteúdo: teoria de cardinalidade (conjuntos enumeráveis vs. não-enumeráveis).
O que vamos usar:
  • Definição de conjunto enumerável (tem bijeção com ).
  • Exemplo clássico de conjunto não-enumerável: intervalos reais como .

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, bora relembrar:
  1. Dizemos que um conjunto é enumerável infinito se existe bijeção . Exemplos: .
  2. Dizemos que é não-enumerável (ou incontável) se não dá pra fazer bijeção com . Um exemplo clássico é o intervalo .

Passo 3

Ideia simples: juntar em cada conjunto um pedaço não-enumerável e também todos os naturais. Definimos:
A ;=; [0,1];cup;N, B ;=; [1,2];cup;N
– Como é não-enumerável, também não é (unir com não “quebra” essa incontabilidade).
– Mesma lógica para usando .

Passo 4

Vamos ver o que é Acap B =([0,1]cupN);cap;([1,2]cupN) :
Acap B =[0,1]cap[1,2] ;cup; [0,1]capN ;cup; Ncap[1,2] ;cup; NcapN
Usando a distributividade:
Calcule passo a passo:
  • , que é finito;
  • ;
  • ;
  • .
    Unindo tudo dá simplesmente , pois os pedacinhos finitos já estão contidos em .

Passo 5

Resumo das conclusões:
  1. e são não-enumeráveis (cada um contém um intervalo real incontável).
  2. , que é infinito e enumerável.

Resposta

Um exemplo é
A=[0,1]cupN, B=[1,2]cupN,
pois
Acap B=N,
que é infinito enumerável.

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