Dê exemplo de duas sequências an e bn tais que lim n infty an=infty, lim n infty bn=infty e lim n infty anbn=0.

Passo 1

O enunciado pede duas sequências que ambas cresçam sem limite (tendam a infinito), mas cuja razão tenda a zero. O conteúdo aqui é limites de sequências e comparação de ordens de crescimento.

Passo 2

Uma escolha natural são polinômios de diferentes graus: defina an = n e bn = n^2.

Passo 3

Mostramos primeiro que ambas divergem para infinito. Como ntoinfty então an = n to infty e bn = n^2 to infty.
Agora calculamos a razão:
anbn = nn^2 = 1n
Como ntoinfty, temos 1/n to 0. Portanto
limntoinfty anbn = 0

Resposta

Uma escolha simples é an = n e bn = n^2, pois ambas tendem a infinito e an/bn = 1/n to 0.

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