Determine o sup e
das sequências seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar o supremo e o ínfimo de várias sequências indexadas por n. O conteúdo de matéria envolve definições de supremo (menor cota superior) e ínfimo (maior cota inferior), e vamos usar análise de monotonicidade e limites para identificar cotas e extremos.
Passo 2
Sequência
: note que para
,
,
,
, e depois a sequência só decresce mais (pois o termo
domina). Então o maior valor ocorre em
e vale zero, e à medida que
,
. Logo
e
.
Passo 3
Sequência
: examinando de
temos
,
,
, e depois a sequência decresce para zero (pela razão
quando
). Assim
e como
mas nunca atinge zero,
.
Passo 4
Sequência
: para
dá
, para
dá
, depois os termos são positivos e decrescem a zero conforme
. O maior valor é
e o menor é
. Logo
e
.
Passo 5
Sequência
: para
vale 0, para
vale 1/2, e a sequência é crescente para 1, mas nunca atinge 1. Então
e
.
Passo 6
Sequência
: como
é crescente sem limite superior, temos
. O menor valor ocorre em
, onde
, então
.
Passo 7
Sequência
: para
vale
, e à medida que
tende a 3, crescendo. Logo
e
.
Passo 8
Sequência
: os termos de índice par explodem para
e os de índice ímpar decaem para
. Assim não há cota finita superior nem inferior:
e $\inf g_n = -\infty.
Resposta
As respostas são: (-n^2+n): sup = 0, inf = -∞; (2^n/n!): sup = 2, inf = 0; (2/(3n-4)): sup = 1, inf = -2; (1 - 1/n): sup = 1, inf = 0; (ln(n)): sup = +∞, inf = 0; (3n2/(n2+n)): sup = 3, inf = 3/2; ((-2)^n): sup = +∞, inf = -∞.