Determine o sup e inf das sequências seguintes:
-n^2+n, 2^nn !, 23 n-4, 1-1n, ln (n), 3 n^2n^2+n, (-2)^n.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o supremo e o ínfimo de várias sequências indexadas por n. O conteúdo de matéria envolve definições de supremo (menor cota superior) e ínfimo (maior cota inferior), e vamos usar análise de monotonicidade e limites para identificar cotas e extremos.

Passo 2

Sequência an = -n^2 + n: note que para n>=1, a1=0, a2=-2, a3=-6, e depois a sequência só decresce mais (pois o termo -n^2 domina). Então o maior valor ocorre em n=1 e vale zero, e à medida que ntoinfty, anto -infty. Logo sup an = 0 e inf an = -infty.

Passo 3

Sequência bn = 2^nn!: examinando de n=1,2,3,dots temos b1=2, b2=2, b3=4/3, e depois a sequência decresce para zero (pela razão bn+1/bn = 2/(n+1) <1 quando n>=2). Assim sup bn = 2 e como bnto0 mas nunca atinge zero, inf bn = 0.

Passo 4

Sequência cn = 23n - 4: para n=1 -2, para n=2 1, depois os termos são positivos e decrescem a zero conforme ntoinfty. O maior valor é c2=1 e o menor é c1=-2. Logo sup cn = 1 e inf cn = -2.

Passo 5

Sequência dn = 1 - 1n: para n=1 vale 0, para n=2 vale 1/2, e a sequência é crescente para 1, mas nunca atinge 1. Então inf dn = 0 e sup dn = 1.

Passo 6

Sequência en = ln(n): como ln(n) é crescente sem limite superior, temos sup en = +infty. O menor valor ocorre em n=1, onde ln(1)=0, então inf en = 0.

Passo 7

Sequência fn = 3n^2n^2 + n = 31 + 1/n: para n=1 vale 3/2, e à medida que ntoinfty tende a 3, crescendo. Logo inf fn = 3/2 e sup fn = 3.

Passo 8

Sequência gn = (-2)^n: os termos de índice par explodem para +infty e os de índice ímpar decaem para -infty. Assim não há cota finita superior nem inferior: sup gn = +infty e $\inf g_n = -\infty.

Resposta

As respostas são: (-n^2+n): sup = 0, inf = -∞; (2^n/n!): sup = 2, inf = 0; (2/(3n-4)): sup = 1, inf = -2; (1 - 1/n): sup = 1, inf = 0; (ln(n)): sup = +∞, inf = 0; (3n2/(n2+n)): sup = 3, inf = 3/2; ((-2)^n): sup = +∞, inf = -∞.

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