Verifique se a sequência
é divergente ou convergente (e calcule o limite):
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
,
(5)
,
(6)
,
(7)
,
(8)
,
(9)
,
(10)
,
(11)
,
(12)
,
(13)
,
(14)
,
(15)
,
(16)
,
(17)
,
(18)
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Passo 1
O enunciado apresenta 18 sequências e pede para decidir se cada uma converge ou diverge, calculando o limite quando existir. Vamos usar técnicas de comparação, equivalências assintóticas, séries de Taylor e propriedades de exponenciais, fatorações e recursões para encontrar esses limites.
Passo 2
Para
, note que a exponencial cresce muito mais rápido que o logaritmo. Formalmente, usando o fato que
sobe exponencialmente e
cresce apenas de forma logarítmica, obtemos
Passo 3
Para
, escrevemos
logo
.
Passo 4
Para
fatoramos e combinamos frações:
Passo 5
No caso
usamos a fórmula de Stirling
. Então
enquanto cresce muito mais rápido que
e
, a expressão fica assintoticamente
enquanto
Passo 6
Para
, de novo exponencial domina linhares, então
Passo 7
Na sequência
os termos dominantes são
no numerador e
no denominador. Logo
Passo 8
Para
com
, usemos logaritmo:
negligível, portanto
Passo 9
No caso
, temos
portanto
Passo 10
Para
, expandimos seno:
logo
Passo 11
Em
, escreva
Passo 12
Para
, racionalizamos:
Passo 13
No caso
fatoramos
:
Passo 14
Para
fatoramos
:
Passo 15
Analise
Usando o critério da razão,
cresce sem limite, logo diverge para
.
Passo 16
Para
$$
a_n=\frac{(n+1)n}{n{n+1}}=(1+\tfrac1n)^n\frac1n,$$
como e
, temos
como
Passo 17
Considere
Como
é limitado e o fator principal é
, segue
Passo 18
Para
ambos os termos vão a zero (exponencial domina termo linear e
), logo
Passo 19
Na recorrência
a sequência é positiva e decrescente até o ponto fixo de
. Se existir
, então
$$
L=\sqrt{L}\implies L(L-1)=0\implies L=1(descartamos 0 pois asa_n>1).$$
Logo converge para 1.
Logo converge para 1.
Resposta
(1) convergente, limite 0
(2) convergente, limite e^{1/3}
(3) convergente, limite 1/2
(4) convergente, limite 1/2
(5) convergente, limite 0
(6) convergente, limite -3/2
(7) convergente, limite 1
(8) convergente, limite 1
(9) convergente, limite \pi
(10) convergente, limite 1
(11) convergente, limite 0
(12) convergente, limite 0
(13) convergente, limite 1/3
(14) divergente (\to +\infty)
(15) convergente, limite 0
(16) convergente, limite 0
(17) convergente, limite 0
(18) convergente, limite 1
(2) convergente, limite e^{1/3}
(3) convergente, limite 1/2
(4) convergente, limite 1/2
(5) convergente, limite 0
(6) convergente, limite -3/2
(7) convergente, limite 1
(8) convergente, limite 1
(9) convergente, limite \pi
(10) convergente, limite 1
(11) convergente, limite 0
(12) convergente, limite 0
(13) convergente, limite 1/3
(14) divergente (\to +\infty)
(15) convergente, limite 0
(16) convergente, limite 0
(17) convergente, limite 0
(18) convergente, limite 1