Verifique se a sequência an é divergente ou convergente (e calcule o limite):
(1) ln (n)e^n,
(2) (1+13 n)^n,
(3) an=n^22 n-1-n^22 n+1,
(4) raizn !+e^2 n2 raizn !-e^n,
(5) ne^n,
(6) 3 n raizn+17-2 n raizn,
(7) raiz[n]a, a>0,
(8) n^1n,
(9) n sen(pi / n),
(10) raiz[n]n^2+n,
(11) raizn+1-raizn,
(12) an=raiz[2]n^2+1-n,
(13) 3^n+(-2)^n3^n+1+2^n,
(14) n !3^n+1,
(15) (n+1)^nn^n+1,
(16) raiz[3]n^2 sen(n^2)n+2,
(17) an=n7^n-(-1)^n2 n+1,
(18) an+1=raizan, a1=5.

Passo 1

O enunciado apresenta 18 sequências e pede para decidir se cada uma converge ou diverge, calculando o limite quando existir. Vamos usar técnicas de comparação, equivalências assintóticas, séries de Taylor e propriedades de exponenciais, fatorações e recursões para encontrar esses limites.

Passo 2

Para an=dfracln(n)e^n, note que a exponencial cresce muito mais rápido que o logaritmo. Formalmente, usando o fato que e^n sobe exponencialmente e ln(n) cresce apenas de forma logarítmica, obtemos
limntoinftyln(n)e^n=0

Passo 3

Para an=l(1+tfrac13nr)^n, escrevemos
ln(an)=nlnl(1+13nr) approx nl(13n-121(3n)^2+cdotsr)=13+o(1),
logo anto e^1/3.

Passo 4

Para
an=n^22n-1-n^22n+1,
fatoramos e combinamos frações:
an= n^2(2n+1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1)=n^224n^2-1 =2n^24n^2-1to12

Passo 5

No caso
an=raizn!+e^2n2raizn!-e^n,
usamos a fórmula de Stirling n!sim n^ne^-nraiz2pi n. Então
enquanto raizn!sim n^n/2e^-n/2 cresce muito mais rápido que e^2n e e^n, a expressão fica assintoticamente
raizn!2raizn!=12

Passo 6

Para an=dfracne^n, de novo exponencial domina linhares, então
limntoinftyne^n=0

Passo 7

Na sequência
an=3nraiz n+17-2nraiz n,
os termos dominantes são 3n^3/2 no numerador e -2n^3/2 no denominador. Logo
limntoinftyan=3-2=-32

Passo 8

Para an=raiz[n]a com a>0, usemos logaritmo:
ln(an)=ln(a)nto0 (
negligível, portanto anto e^0=1

Passo 9

No caso an=n^1/n, temos
ln(an)=ln nnto0,
portanto anto1

Passo 10

Para an=nsin(pi/n), expandimos seno:
sinl(pinr)=pin-(pi/n)^36+o(n^-3),
logo
nsinl(pinr)=pi+o(1)topi

Passo 11

Em an=raiz[n]n^2+n, escreva
raiz[n]n^2+n=(n^2(1+tfrac1n))^1/n=n^2/n(1+tfrac1n)^1/nto1cdot1=1

Passo 12

Para an=raizn+1-raiz n, racionalizamos:
raizn+1-raiz n=1raizn+1+raiz nto0

Passo 13

No caso
an=raizn^2+1-n,
fatoramos n:
an=n(raiz1+1/n^2-1)approx nl(1+12n^2-1r)=12nto0

Passo 14

Para
an=3^n+(-2)^n3^n+1+2^n,
fatoramos 3^n:
an=1+(-2/3)^n3+(2/3)^nto1+03+0=13

Passo 15

Analise
an=n!3^n+1
Usando o critério da razão,
an+1an=(n+1)!/3^n+2n!/3^n+1=n+13toinfty,
cresce sem limite, logo diverge para +infty.

Passo 16

Para
$$
a_n=\frac{(n+1)n}{n{n+1}}=(1+\tfrac1n)^n\frac1n,$$
como an=(n+1)^nn^n+1=(1+tfrac1n)^n1n, e (1+1/n)^nto e, temos 1/nto0

Passo 17

Considere
an=raiz[3]n^2sin(n^2)n+2= racn^2/3sin(n^2)n(1+2/n)
Como sin(n^2) é limitado e o fator principal é n^-1/3to0, segue anto0

Passo 18

Para
an=n7^n-(-1)^n2n+1,
ambos os termos vão a zero (exponencial domina termo linear e 1/(2n+1)to0), logo anto0

Passo 19

Na recorrência
an+1=raizan, a1=5,
a sequência é positiva e decrescente até o ponto fixo de f(x)=raizx. Se existir L=lim an>0, então
$$
L=\sqrt{L}\implies L(L-1)=0\implies L=1(descartamos 0 pois asa_n>1).$$
Logo converge para 1.

Resposta

(1) convergente, limite 0
(2) convergente, limite e^{1/3}
(3) convergente, limite 1/2
(4) convergente, limite 1/2
(5) convergente, limite 0
(6) convergente, limite -3/2
(7) convergente, limite 1
(8) convergente, limite 1
(9) convergente, limite \pi
(10) convergente, limite 1
(11) convergente, limite 0
(12) convergente, limite 0
(13) convergente, limite 1/3
(14) divergente (\to +\infty)
(15) convergente, limite 0
(16) convergente, limite 0
(17) convergente, limite 0
(18) convergente, limite 1

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