Exemplo 5.1. A EDO 2 y+3 x+\frac{1}{x}+x y^{\prime}=0 não é exata, pois \frac{\partial}{\partial y}(2 y+3 x+(1 / x))=2 \neq 1=\frac{\partial}{\partial x}(x). No entanto, observamos que, ao multiplicá-la por \mu(x, y)=x, obtemos a equação 2 x y+3 x^{2}+1+x^{2} y^{\prime}=0, a qual é exata, visto que \frac{\partial M}{\partial y}(x, y)=2 x=\frac{\partial N}{\partial x}(x, y). Neste caso, a função \mu é fator integrante da EDO dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2y + 3x + \frac{1}{x} + x\,y' = 0
e mostra que ela não é exata originalmente. O enunciado indica que, multiplicando por \mu(x,y)=x, a equação se transforma em uma equação exata. Precisamos, portanto, verificar isso e resolver a equação resultante, encontrando a solução geral (a constante de integração deve aparecer no final).
Informações relevantes fornecidas:
\text{EDO original: }2y + 3x + \frac{1}{x} + x\,y' = 0.
Foi sugerido que \mu(x,y)=x é um fator integrante que torna a equação exata. Não há mais dados externos (como condição inicial), então buscaremos a solução geral implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato padrão para equações diferenciais exatas. Colocamos tudo em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Para isso, note que y'=\dfrac{dy}{dx}. Reescrevendo a equação original:
2y + 3x + \frac{1}{x} + x\frac{dy}{dx} = 0
multiplicando por dx e isolando os termos:
\bigl(2y + 3x + \frac{1}{x}\bigr)\,dx + x\,dy = 0.
Logo, identificamos
M(x,y)=2y + 3x + \frac{1}{x},\qquad N(x,y)=x.

Passo 3

Agora verificamos se a equação é exata. Lembre que uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
em uma região adequada. Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como 2 \neq 1, a equação não é exata — exatamente o que o enunciado afirmava.

Passo 4

Buscamos um fator integrante \mu(x) que dependa apenas de x. Vou explicar a ideia e a fórmula utilizada: se existe \mu(x) tal que \mu(x)M\,dx+\mu(x)N\,dy é exata, então deve valer
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Como \mu depende só de x, isso dá
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x},
onde \mu'=\dfrac{d\mu}{dx}. Reorganizando:
\frac{\mu'}{\mu} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado direito deve depender apenas de x para que \mu exista como função só de x. Então calculamos esse quociente para a nossa equação:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2-1}{x}=\frac{1}{x},
que é de fato uma função apenas de x. Portanto existe \mu(x) e ela satisfaz
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\ln \mu(x)=\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C_0.
Escolhendo a constante multiplicativa como 1 (já que qualquer constante pode ser absorvida na constante final da solução), obtemos
\mu(x)=e^{\ln x}=x.
Isso confirma a sugestão do enunciado: \mu(x)=x é um fator integrante.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x. A equação multiplicada fica:
x\bigl(2y + 3x + \frac{1}{x}\bigr)\,dx + x\cdot x\,dy = 0.
Simplificando os termos:
(2xy + 3x^2 + 1)\,dx + x^2\,dy = 0.
Agora identificamos as novas funções
\widetilde{M}(x,y)=2xy + 3x^2 + 1,\qquad \widetilde{N}(x,y)=x^2.
Vamos checar exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=2x,\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=2x,
logo \dfrac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} e a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=2xy + 3x^2 + 1
e
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y)=x^2.
Para encontrar \Psi, integramos \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int (2xy + 3x^2 + 1)\,dx = x^2 y + x^3 + x + H(y),
onde H(y) é uma função de y a determinar (pois ao integrar em relação a x a constante de integração pode depender de y).

Passo 7

Usamos a outra condição \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=x^2 para achar H(y). Diferenciando \Psi em relação a y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=x^2 + H'(y).
Comparando com \widetilde{N}(x,y)=x^2, obtemos
x^2 + H'(y) = x^2 \quad\Rightarrow\quad H'(y)=0.
Assim H(y) é constante. Podemos então tomar H(y)=C, onde C é a constante de integração.

Passo 8

A função potencial final é
\Psi(x,y)=x^2 y + x^3 + x + C,
e a solução geral implícita da equação exata é
\Psi(x,y)=\text{constante}.
Podemos escrever a solução implícita mais convenientemente como
x^2 y + x^3 + x = C_1,
onde C_1 é uma constante arbitrária. Se preferirmos isolar y, obtemos a forma explícita
y = C_1 x^{-2} - x - x^{-1}.

Resposta

x^2 y + x^3 + x = C

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