Exemplo 5.1. A EDO
não é exata, pois
. No entanto, observamos que, ao multiplicá-la por
, obtemos a equação
, a qual é exata, visto que
. Neste caso, a função
é fator integrante da EDO dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e mostra que ela não é exata originalmente. O enunciado indica que, multiplicando por
, a equação se transforma em uma equação exata. Precisamos, portanto, verificar isso e resolver a equação resultante, encontrando a solução geral (a constante de integração deve aparecer no final).
Informações relevantes fornecidas:
Foi sugerido que
é um fator integrante que torna a equação exata. Não há mais dados externos (como condição inicial), então buscaremos a solução geral implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO no formato padrão para equações diferenciais exatas. Colocamos tudo em forma diferencial
Para isso, note que
. Reescrevendo a equação original:
multiplicando por
e isolando os termos:
Logo, identificamos
Passo 3
Agora verificamos se a equação é exata. Lembre que uma equação
é exata se e somente se
em uma região adequada. Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata — exatamente o que o enunciado afirmava.
Passo 4
Buscamos um fator integrante
que dependa apenas de
. Vou explicar a ideia e a fórmula utilizada: se existe
tal que
é exata, então deve valer
Como
depende só de
, isso dá
onde
. Reorganizando:
O lado direito deve depender apenas de
para que
exista como função só de
. Então calculamos esse quociente para a nossa equação:
que é de fato uma função apenas de
. Portanto existe
e ela satisfaz
Integrando ambos os lados em relação a
:
Escolhendo a constante multiplicativa como
(já que qualquer constante pode ser absorvida na constante final da solução), obtemos
Isso confirma a sugestão do enunciado:
é um fator integrante.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. A equação multiplicada fica:
Simplificando os termos:
Agora identificamos as novas funções
Vamos checar exatidão:
logo
e a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
e
Para encontrar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
a determinar (pois ao integrar em relação a
a constante de integração pode depender de
).
Passo 7
Usamos a outra condição
para achar
. Diferenciando
em relação a
:
Comparando com
, obtemos
Assim
é constante. Podemos então tomar
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
A função potencial final é
e a solução geral implícita da equação exata é
Podemos escrever a solução implícita mais convenientemente como
onde
é uma constante arbitrária. Se preferirmos isolar
, obtemos a forma explícita