Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que nos pedem:
- Dizer se a EDO é exata.
- Resolver a EDO (encontrar a solução geral).
- Resolver PVI’s, se houver (aqui não foi dada condição inicial explícita).
Informações relevantes dadas:
-
. - A equação pode ser colocada na forma diferencial
multiplicando por .
Passo 2
Reescrevo a EDO na forma diferencial padrão multiplicando por
:
Assim identificamos
Passo 3
O que significa “exata”? Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um critério prático (quando
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Se essa igualdade valer num domínio, então a EDO é exata e podemos achar
integrando
em
(ou
em
).
Passo 4
Calculo as derivadas parciais necessárias com cuidado usando a regra da cadeia. Ponho
para simplificar notação quando aparecer:
Calcule
. Como
com
e
,
e para
uso a regra do produto:
Somando as partes:
Agora
. Com
e
,
Passo 5
Comparando,
Portanto a equação é exata (ufa! — isso facilita bastante).
Passo 6
Agora achamos uma função potencial
tal que
e
. Integro
em
mantendo
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Faço as integrais separadamente. Para
, com
e
(logo
),
Para
, uso de novo
e
. Observando
e como
,
Integro por partes
. Seja
,
então
,
. Logo
Assim
Somando as duas integrais:
As parcelas
e
cancelam, sobrando
Passo 7
Imponho agora
. Calculo
:
Como
deve ser igual a
, deduzimos
. Assim
é constante, que chamo
.
Portanto a solução implícita geral é
Passo 8
Escrevendo explicitamente a família de curvas solução:
Se fosse pedido um PVI com condição
, bastaria substituir nessa expressão para determinar
:
Observação sobre solução explícita para
: se quiser isolar
, temos
, logo
com as ressalvas habituais sobre domínios e ramos da função arco-seno; por isso a forma implícita
é a forma mais segura e completa da solução geral.
Resposta
Sim, a EDO é exata.
Sem PVI fornecido; se houver condição , então
.
Sem PVI fornecido; se houver condição