Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
\operatorname{sen} x y+x y \cos x y+y^{\prime} x^{2} \cos x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sin(xy)+xy\cos(xy)+x^{2}\cos(xy)\,y'=0.
O que nos pedem:
  • Dizer se a EDO é exata.
  • Resolver a EDO (encontrar a solução geral).
  • Resolver PVI’s, se houver (aqui não foi dada condição inicial explícita).
Informações relevantes dadas:
  • y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação pode ser colocada na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 multiplicando por dx.

Passo 2

Reescrevo a EDO na forma diferencial padrão multiplicando por dx:
\big(\sin(xy)+xy\cos(xy)\big)\,dx + \big(x^{2}\cos(xy)\big)\,dy=0.
Assim identificamos
M(x,y)=\sin(xy)+xy\cos(xy),\qquad N(x,y)=x^{2}\cos(xy).

Passo 3

O que significa “exata”? Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um critério prático (quando M,N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade valer num domínio, então a EDO é exata e podemos achar \Phi integrando M em x (ou N em y).

Passo 4

Calculo as derivadas parciais necessárias com cuidado usando a regra da cadeia. Ponho u=xy para simplificar notação quando aparecer:
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y)=\sin(u)+u\cos(u) com u=xy e \dfrac{\partial u}{\partial y}=x,
\frac{\partial}{\partial y}\sin(u)=\cos(u)\cdot x,
e para u\cos(u) uso a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(u\cos(u)\big)=\frac{\partial u}{\partial y}\cos(u)+u\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(u) = x\cos(u)+u\cdot(-\sin(u))\cdot x.
Somando as partes:
\frac{\partial M}{\partial y}=x\cos(u)+x\cos(u)-x u\sin(u)=2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy).
Agora \dfrac{\partial N}{\partial x}. Com N(x,y)=x^{2}\cos(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=y,
\frac{\partial N}{\partial x}=2x\cos(u)+x^{2}\cdot(-\sin(u))\cdot y=2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy).

Passo 5

Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy)=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a equação é exata (ufa! — isso facilita bastante).

Passo 6

Agora achamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Integro M em x mantendo y como constante:
\Phi(x,y)=\int\big(\sin(xy)+xy\cos(xy)\big)\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Faço as integrais separadamente. Para \int \sin(xy)\,dx, com u=xy e du=y\,dx (logo dx=\dfrac{du}{y}),
\int \sin(xy)\,dx=\int \sin(u)\frac{du}{y}=-\frac{1}{y}\cos(u)=-\frac{1}{y}\cos(xy).
Para \int xy\cos(xy)\,dx, uso de novo u=xy e du=y\,dx. Observando
xy\cos(xy)\,dx = x\cos(u)\,du
e como x=\dfrac{u}{y},
\int xy\cos(xy)\,dx=\int \frac{u}{y}\cos(u)\,du=\frac{1}{y}\int u\cos(u)\,du.
Integro por partes \int u\cos(u)\,du. Seja a=u, db=\cos u\,du então da=du, b=\sin u. Logo
\int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C.
Assim
\int xy\cos(xy)\,dx = \frac{1}{y}\big(u\sin u + \cos u\big)=\frac{1}{y}\big(xy\sin(xy)+\cos(xy)\big).
Somando as duas integrais:
\Phi(x,y) = -\frac{1}{y}\cos(xy) + \frac{1}{y}\big(xy\sin(xy)+\cos(xy)\big) + h(y).
As parcelas -\frac{1}{y}\cos(xy) e +\frac{1}{y}\cos(xy) cancelam, sobrando
\Phi(x,y)=x\sin(xy)+h(y).

Passo 7

Imponho agora \Phi_{y}=N. Calculo \Phi_{y}:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x\sin(xy)\big)+h'(y) = x\cdot\cos(xy)\cdot x + h'(y)=x^{2}\cos(xy)+h'(y).
Como \Phi_{y} deve ser igual a N(x,y)=x^{2}\cos(xy), deduzimos h'(y)=0. Assim h(y) é constante, que chamo C.
Portanto a solução implícita geral é
\Phi(x,y)=x\sin(xy)+C.

Passo 8

Escrevendo explicitamente a família de curvas solução:
x\sin(xy)=C.
Se fosse pedido um PVI com condição (x_{0},y_{0}), bastaria substituir nessa expressão para determinar C:
C=x_{0}\sin\big(x_{0}y_{0}\big).
Observação sobre solução explícita para y: se quiser isolar y, temos \sin(xy)=C/x, logo
xy=\arcsin\!\big(C/x\big)+k\pi,
com as ressalvas habituais sobre domínios e ramos da função arco-seno; por isso a forma implícita x\sin(xy)=C é a forma mais segura e completa da solução geral.

Resposta

Sim, a EDO é exata.
x\sin(xy)=C.
Sem PVI fornecido; se houver condição (x_{0},y_{0}), então C=x_{0}\sin(x_{0}y_{0}).

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