Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede duas coisas: dizer se a EDO é exata e resolver a EDO/PVI. Informações fornecidas:
condição inicial
e a restrição
A tarefa é: (i) verificar se essa equação é exata; (ii) encontrar a solução geral (implícita) e, em seguida, a solução do problema de valor inicial (PVI) que satisfaça
e a desigualdade
.
Passo 2
Colocar a EDO na forma diferencial padrão para testar exatidão. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Reescrevendo tudo no lado esquerdo na forma
, temos
Portanto definimos
Passo 3
Explicar a condição de exatidão e aplicá-la. Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática necessária e suficiente (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Encontrar a função potencial
. Como
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
. Agora impomos que
. Calculemos
:
Igualando a
obtemos
Integrando
em
dá
onde
é constante.
Passo 5
Escrever a solução implícita geral. Substituindo
em
temos (podemos absorver a constante
em uma constante geral)
É conveniente multiplicar por
para eliminar frações:
ou reordenando
Essa é a família de curvas implícitas que são as soluções gerais da EDO.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante. Substituindo
,
na expressão implícita:
Logo a solução implícita particular que satisfaz o PVI é
Passo 7
Obter a solução explícita (quando possível) e selecionar a ramificação correta usando
e a condição
. A equação implícita é quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para
em termos de
:
Simplificando:
Existem, portanto, duas possíveis ramas. Avaliando em
:
o que dá
(sinal
) ou
(sinal
). Como queremos a solução que satisfaça
, escolhemos o sinal negativo. Além disso, a condição dada
confirma a escolha do sinal negativo, porque para o sinal
teríamos
, o que violaria a desigualdade.
Portanto a solução explícita escolhida é
Passo 8
Determinar o domínio da solução (onde a expressão é real) e o intervalo relevante que contém
. O radicando deve ser não negativo:
Assim a expressão explícita está definida para
. Como nosso ponto inicial é
(que satisfaz
), o intervalo maximal que contém o ponto inicial e onde a solução é contínua é
Passo 9
Resumo final e observações sobre unicidade: achamos que a EDO é exata e produziu uma solução implícita. A condição de existência e unicidade local se verifica aqui porque a EDO pode ser escrita na forma
com funções racionais e, ao escolher a rama contínua
, obtemos a única solução que passa por
e satisfaz
em um intervalo que contém
. Então o PVI tem solução única nesse intervalo.
Resposta
A EDO é exata.
Solução implícita geral: .
Solução do PVI com e
:
, definida para
; o intervalo maximal contendo
é
.
Solução implícita geral:
Solução do PVI com