Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
y^{\prime}=\frac{x+2 y}{y-2 x}, \quad y(1)=1, \quad y<2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede duas coisas: dizer se a EDO é exata e resolver a EDO/PVI. Informações fornecidas:
y'=\frac{x+2y}{y-2x},
condição inicial
y(1)=1,
e a restrição
y<2x.
A tarefa é: (i) verificar se essa equação é exata; (ii) encontrar a solução geral (implícita) e, em seguida, a solução do problema de valor inicial (PVI) que satisfaça y(1)=1 e a desigualdade y<2x.

Passo 2

Colocar a EDO na forma diferencial padrão para testar exatidão. Partimos de
y'=\frac{x+2y}{y-2x}.
Multiplicando ambos os lados por (y-2x) e por dx obtemos
(y-2x)\,dy=(x+2y)\,dx.
Reescrevendo tudo no lado esquerdo na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, temos
-(x+2y)\,dx+(y-2x)\,dy=0.
Portanto definimos
M(x,y)=-(x+2y),\qquad N(x,y)=y-2x.

Passo 3

Explicar a condição de exatidão e aplicá-la. Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática necessária e suficiente (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-(x+2y)\bigr)=-2,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y-2x\bigr)=-2.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Como \partial\Phi/\partial x=M=-(x+2y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int -(x+2y)\,dx = -\frac{x^2}{2}-2xy+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y. Agora impomos que \partial\Phi/\partial y=N. Calculemos \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=-2x+h'(y).
Igualando a N(y-2x) obtemos
-2x+h'(y)=y-2x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y.
Integrando h'(y)=y em y
h(y)=\frac{y^2}{2}+C,
onde C é constante.

Passo 5

Escrever a solução implícita geral. Substituindo h(y) em \Phi temos (podemos absorver a constante C em uma constante geral)
\Phi(x,y)=-\frac{x^2}{2}-2xy+\frac{y^2}{2}=C_1.
É conveniente multiplicar por 2 para eliminar frações:
-y^2? \text{ cuidado: fazemos }2\Phi:\quad -x^2-4xy+y^2=C,
ou reordenando
y^2-4xy-x^2=C.
Essa é a família de curvas implícitas que são as soluções gerais da EDO.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar a constante. Substituindo x=1, y=1 na expressão implícita:
1^2-4\cdot1\cdot1-1^2=C \quad\Rightarrow\quad 1-4-1=C \quad\Rightarrow\quad C=-4.
Logo a solução implícita particular que satisfaz o PVI é
y^2-4xy-x^2=-4.

Passo 7

Obter a solução explícita (quando possível) e selecionar a ramificação correta usando y(1)=1 e a condição y<2x. A equação implícita é quadrática em y:
y^2-4xy-(x^2-4)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para y em termos de x:
y=\frac{4x\pm\sqrt{(4x)^2-4\cdot1\cdot(-(x^2-4))}}{2} =\frac{4x\pm\sqrt{16x^2+4x^2-16}}{2} =\frac{4x\pm 2\sqrt{5x^2-4}}{2}.
Simplificando:
y=2x\pm\sqrt{5x^2-4}.
Existem, portanto, duas possíveis ramas. Avaliando em x=1:
y(1)=2\pm\sqrt{5-4}=2\pm1,
o que dá y(1)=3 (sinal +) ou y(1)=1 (sinal -). Como queremos a solução que satisfaça y(1)=1, escolhemos o sinal negativo. Além disso, a condição dada y<2x confirma a escolha do sinal negativo, porque para o sinal + teríamos y=2x+\sqrt{\cdots}>2x, o que violaria a desigualdade.
Portanto a solução explícita escolhida é
y(x)=2x-\sqrt{5x^2-4}.

Passo 8

Determinar o domínio da solução (onde a expressão é real) e o intervalo relevante que contém x=1. O radicando deve ser não negativo:
5x^2-4\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2\ge\frac{4}{5}\quad\Longrightarrow\quad |x|\ge\frac{2}{\sqrt{5}}.
Assim a expressão explícita está definida para x\in(-\infty,-2/\sqrt{5}]\cup[2/\sqrt{5},\infty). Como nosso ponto inicial é x=1 (que satisfaz 1\ge 2/\sqrt{5}), o intervalo maximal que contém o ponto inicial e onde a solução é contínua é
x\in\left[\,\frac{2}{\sqrt{5}},\infty\right).

Passo 9

Resumo final e observações sobre unicidade: achamos que a EDO é exata e produziu uma solução implícita. A condição de existência e unicidade local se verifica aqui porque a EDO pode ser escrita na forma F(x,y,y')=0 com funções racionais e, ao escolher a rama contínua y=2x-\sqrt{5x^2-4}, obtemos a única solução que passa por (1,1) e satisfaz y<2x em um intervalo que contém x=1. Então o PVI tem solução única nesse intervalo.

Resposta

A EDO é exata.
Solução implícita geral: y^2-4xy-x^2=C.
Solução do PVI com y(1)=1 e y<2x: y(x)=2x-\sqrt{5x^2-4}, definida para |x|\ge\frac{2}{\sqrt{5}}; o intervalo maximal contendo x=1 é x\in\left[\frac{2}{\sqrt{5}},\infty\right).

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