3.1 (Exemplo) Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L=1,5 \mathrm{~m} e diâmetros interno e externo iguais a 40 e 60 mm , respectivamente: (a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo de maneira que as tensões de cisalhamento não excedam 120 MPa ? (b) Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse caso?

Passo 1

O enunciado dá um eixo cilíndrico vazado de comprimento L=1{,}5\,\mathrm{m}, raio externo r_o=30\,\mathrm{mm} e raio interno r_i=20\,\mathrm{mm}. O material admite tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}=120\,\mathrm{MPa}.
Conteúdo: torção em eixo circular oco. Vamos usar
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde T é o torque aplicado e
J = \frac{\pi}{2}\bigl(r_o^4 - r_i^4\bigr)
é o momento polar de inércia da seção.

Passo 2

Calcular J em unidades SI (metros):
r_o=0{,}03\,\mathrm{m},\quad r_i=0{,}02\,\mathrm{m},
J = \frac{\pi}{2}\bigl((0{,}03)^4 - (0{,}02)^4\bigr) = \frac{\pi}{2}\bigl(8{,}1\times10^{-7} - 1{,}6\times10^{-7}\bigr) = 1{,}021\times10^{-6}\,\mathrm{m}^4.

Passo 3

Para que a tensão máxima na superfície externa não exceda 120\,\mathrm{MPa}, impomos
\tau_{\max} = \frac{T_{\max}\,r_o}{J} \;\Longrightarrow\; T_{\max} = \frac{\tau_{\max}\,J}{r_o}.
Substituindo valores,
T_{\max} = \frac{120\times10^6\,\mathrm{Pa}\;\times\;1{,}021\times10^{-6}\,\mathrm{m}^4}{0{,}03\,\mathrm{m}} = 4{,}08\times10^3\,\mathrm{N\!\cdot m}.

Passo 4

A menor tensão de cisalhamento ocorre na superfície interna, em r=r_i:
\tau_{\min} = \frac{T_{\max}\,r_i}{J} = \tau_{\max}\,\frac{r_i}{r_o} = 120\,\mathrm{MPa}\times\frac{20}{30} = 80\,\mathrm{MPa}.

Resposta

(a) T_{\max}=4{,}08\times10^3\,\mathrm{N\!\cdot m}.
(b) \tau_{\min}=80\,\mathrm{MPa}.

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