Em sala, usando a Lei de Newton, verificamos que um sistema massa mola com um grau de liberdade sem amortecimento (sistema conservativo) obedece a seguinte equação diferencial:
, onde x é a posição, k a constante de rigidez da mola e m a massa oscilante. Obtenha essa mesma expressão utilizando a energia: considere a energia mecânica total como a soma das energia cinética e potencial elástica. Para a hipótese de conservação de energia, derive a energia total em relação ao tempo e obtenha o modelo dinâmico do movimento.
Passo 1
O enunciado nos pede para obter a equação
a partir da conservação da energia mecânica num sistema massa–mola sem amortecimento. Vamos usar que a energia total é
a partir da conservação da energia mecânica num sistema massa–mola sem amortecimento. Vamos usar que a energia total é
onde
é a energia cinética e
a energia potencial elástica.
Passo 2
Escrevemos explicitamente
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Passo 3
Pela hipótese de energia constante,
. Calculando a derivada temporal:
Assim,
Passo 4
Como em geral
, o fator entre parênteses deve anular-se: