Em sala, usando a Lei de Newton, verificamos que um sistema massa mola com um grau de liberdade sem amortecimento (sistema conservativo) obedece a seguinte equação diferencial: \ddot{x}+\frac{k}{m} x=0, onde x é a posição, k a constante de rigidez da mola e m a massa oscilante. Obtenha essa mesma expressão utilizando a energia: considere a energia mecânica total como a soma das energia cinética e potencial elástica. Para a hipótese de conservação de energia, derive a energia total em relação ao tempo e obtenha o modelo dinâmico do movimento.

Passo 1

O enunciado nos pede para obter a equação
\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0
a partir da conservação da energia mecânica num sistema massa–mola sem amortecimento. Vamos usar que a energia total é
E = T + U,
onde T é a energia cinética e U a energia potencial elástica.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
T = \tfrac12\,m\,\dot{x}^{2},
U = \tfrac12\,k\,x^{2},
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E = \tfrac12\,m\,\dot{x}^{2} + \tfrac12\,k\,x^{2}.

Passo 3

Pela hipótese de energia constante, \frac{dE}{dt}=0. Calculando a derivada temporal:
\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12\,m\,\dot{x}^{2}\Bigr) + \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12\,k\,x^{2}\Bigr) = m\,\dot{x}\,\ddot{x} + k\,x\,\dot{x}.
Assim,
m\,\dot{x}\,\ddot{x} + k\,x\,\dot{x} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(m\,\ddot{x} + k\,x\bigr)\,\dot{x} = 0.

Passo 4

Como em geral \dot{x}\neq0, o fator entre parênteses deve anular-se:
m\,\ddot{x} + k\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0.

Resposta

\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0.

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