Exercício 07: Calcule
j(3-j 4)^*(-1+j 6)(2+j)^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
j,(3 - j4)^*(-1 + j6),(2 + j)^2,
envolvendo operações com números complexos: conjugado, potência, multiplicação e divisão. Vamos usar as propriedades de conjugado ( z^*=overline z), de multiplicação de complexos e de racionalização de frações complexas.

Passo 2

Calcular o conjugado de (3 - j4). O conjugado inverte o sinal da parte imaginária, portanto
(3 - j4)^* = 3 + j4

Passo 3

Multiplicar j por (3 + j4) para obter o numerador:
j(3 + j4) = 3j + j^2,4 = 3j - 4 = -4 + 3j

Passo 4

Calcular o quadrado de (2 + j). Usando (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, temos
(2 + j)^2 = 2^2 + 2cdot2cdot j + j^2 = 4 + 4j - 1 = 3 + 4j

Passo 5

Multiplicar (-1 + j6) por (3 + 4j) para obter o denominador:
(-1 + j6)(3 + 4j) = -1cdot3 -1cdot4j + 6jcdot3 + 6jcdot4j = -3 - 4j + 18j + 24,j^2 = -3 +14j -24 = -27 + 14j

Passo 6

Agora a expressão é
-4 + 3j-27 + 14j
Para dividir complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (-27 - 14j):
-4 + 3j-27 + 14j ;times; -27 - 14j-27 - 14j = (-4 + 3j)(-27 - 14j)(-27 + 14j)(-27 - 14j)

Passo 7

Calcular os produtos:
(-4 + 3j)(-27 - 14j) = 108 + 56j -81j -42,j^2 = 108 -25j +42 = 150 - 25j,
(-27 + 14j)(-27 - 14j) = (-27)^2 - (14j)^2 = 729 + 196 = 925
Logo a fração racionalizada é
150 - 25j925 = 25(6 - j)25cdot37 = 6 - j37

Resposta

6 - j37

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