Exemplo 4. Um elétron encontra-se a uma distância de 2 cm de um fio muito longo e se aproxima dele com uma aceleração de 1,5 \times 10^{13} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a carga por unidade de comprimento no fio?
Resolução:

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
  • Enunciado: Um elétron está a uma distância de 2\\ \text{cm} de um fio muito longo e se aproxima dele com aceleração 1{,}5\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}. Pergunta: qual é a carga por unidade de comprimento \lambda no fio?
  • Dados fornecidos:
    • distância até o fio: r=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • aceleração do elétron: a=1{,}5\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Constantes físicas que vamos usar (valores conhecidos):
    • massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • carga elementar (módulo da carga do elétron): e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • permissividade do vácuo: \varepsilon_0=8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Fórmula do campo elétrico ao redor de um fio longo carregado (revisão e derivação curta).
  • Ideia física: para um fio muito longo e uniformemente carregado, o campo elétrico fora do fio é radial e depende só da distância r ao fio. Usa-se a Lei de Gauss para obter o módulo do campo.
  • Aplicando a Lei de Gauss: considere um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. A carga total dentro é \lambda L. O fluxo elétrico só atravessa a superfície lateral (as tampas não contribuem porque o campo é paralelo a elas), então
E\,(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando L e isolando E obtemos a expressão conhecida:
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
  • Explicação das variáveis: \lambda é a carga por unidade de comprimento (C/m), r é a distância ao fio (m), \varepsilon_0 é a constante do meio, e E é o módulo do campo elétrico (V/m).

Passo 3

Força elétrica sobre o elétron e relação com a aceleração.
  • A força elétrica (módulo) sobre o elétron é F=|q|E, onde |q|=e é o módulo da carga do elétron.
  • Pela Segunda Lei de Newton, o módulo da aceleração é a=F/m_e. Substituindo F:
a=\frac{eE}{m_e}.
  • Isolando E a partir dessa relação:
E=\frac{m_e a}{e}.
  • Observação física sobre o sinal: o elétron tem carga negativa; se ele se aproxima do fio a aceleração é dirigida para o fio, isto indica que o fio é carregado positivamente. Aqui, para achar \lambda só precisamos do módulo, mas isso também nos diz o sinal de \lambda (positivo).

Passo 4

Unir as duas fórmulas e isolar \lambda.
  • Igualamos a expressão do campo obtida pela Lei de Gauss com a obtida a partir da aceleração:
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{m_e a}{e}.
  • Isolando \lambda:
\lambda = 2\pi\varepsilon_0 r \,\frac{m_e a}{e}.

Passo 5

Substituir números e calcular passo a passo (contas sem pular etapas).
  • Primeiro calcule E=\dfrac{m_e a}{e}.
    E=\frac{9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times 1{,}5\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}}.
    Multiplicando no numerador:
    9{,}10938356\times10^{-31}\times1{,}5\times10^{13}=1{,}366407534\times10^{-17}.
    Agora a divisão:
    E=\frac{1{,}366407534\times10^{-17}}{1{,}602176634\times10^{-19}} =\left(\frac{1{,}366407534}{1{,}602176634}\right)\times10^{2}\approx0{,}8529\times10^{2}.
    Portanto
    E\approx85{,}29\\ \mathrm{V/m}.
  • Agora calcule \lambda=2\pi\varepsilon_0 r E.
    Primeiro calcule 2\pi\varepsilon_0:
    2\pi\varepsilon_0=2\pi\times8{,}8541878128\times10^{-12}\approx5{,}5708\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
    Multiplicando por r=0{,}02\\ \mathrm{m}:
    2\pi\varepsilon_0 r \approx 5{,}5708\times10^{-11}\times0{,}02 = 1{,}11416\times10^{-12}.
    Finalmente multiplicando por E:
    \lambda \approx 1{,}11416\times10^{-12}\times85{,}29 \approx 9{,}50\times10^{-11}\\ \mathrm{C/m}.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação de sinal.
  • Resultado numérico: \lambda\approx9{,}50\times10^{-11}\\ \mathrm{C/m}.
  • Sinal: como o elétron foi atraído para o fio, o fio deve ter carga positiva, então \lambda é positivo.
  • Ordem de grandeza: \sim 10^{-10}\\ \mathrm{C/m}, razoável para um fio com densidade linear de carga pequena.

Resposta

\lambda \approx +9{,}50\times10^{-11}\\ \mathrm{C/m}

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