Exemplo 4. Um elétron encontra-se a uma distância de 2 cm de um fio muito longo e se aproxima dele com uma aceleração de
. Qual é a carga por unidade de comprimento no fio?
Resolução:
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
- Enunciado: Um elétron está a uma distância de
de um fio muito longo e se aproxima dele com aceleração . Pergunta: qual é a carga por unidade de comprimento no fio? - Dados fornecidos:
- distância até o fio:
. - aceleração do elétron:
.
- distância até o fio:
- Constantes físicas que vamos usar (valores conhecidos):
- massa do elétron:
. - carga elementar (módulo da carga do elétron):
. - permissividade do vácuo:
.
- massa do elétron:
Passo 2
Fórmula do campo elétrico ao redor de um fio longo carregado (revisão e derivação curta).
- Ideia física: para um fio muito longo e uniformemente carregado, o campo elétrico fora do fio é radial e depende só da distância
ao fio. Usa-se a Lei de Gauss para obter o módulo do campo. - Aplicando a Lei de Gauss: considere um cilindro coaxial de raio
e comprimento . A carga total dentro é . O fluxo elétrico só atravessa a superfície lateral (as tampas não contribuem porque o campo é paralelo a elas), então
- Cancelando
e isolando obtemos a expressão conhecida:
- Explicação das variáveis:
é a carga por unidade de comprimento (C/m), é a distância ao fio (m), é a constante do meio, e é o módulo do campo elétrico (V/m).
Passo 3
Força elétrica sobre o elétron e relação com a aceleração.
- A força elétrica (módulo) sobre o elétron é
, onde é o módulo da carga do elétron. - Pela Segunda Lei de Newton, o módulo da aceleração é
. Substituindo :
- Isolando
a partir dessa relação:
- Observação física sobre o sinal: o elétron tem carga negativa; se ele se aproxima do fio a aceleração é dirigida para o fio, isto indica que o fio é carregado positivamente. Aqui, para achar
só precisamos do módulo, mas isso também nos diz o sinal de (positivo).
Passo 4
Unir as duas fórmulas e isolar
.
- Igualamos a expressão do campo obtida pela Lei de Gauss com a obtida a partir da aceleração:
- Isolando
:
Passo 5
Substituir números e calcular passo a passo (contas sem pular etapas).
-
Primeiro calcule
. Multiplicando no numerador:Agora a divisão:Portanto -
Agora calcule
.
Primeiro calcule: Multiplicando por: Finalmente multiplicando por:
Passo 6
Interpretação do resultado e verificação de sinal.
- Resultado numérico:
. - Sinal: como o elétron foi atraído para o fio, o fio deve ter carga positiva, então
é positivo. - Ordem de grandeza:
, razoável para um fio com densidade linear de carga pequena.