Q 01) Uma partícula, de massa m=2 \times 10^{-10} \mathrm{~kg} e carga q=+2 \times 10^{-19} \mathrm{C}, y penetra com velocidade v_{0}=2 \times 10^{-10} numa região onde existe um campo elétrico uniforme de intensidade E=10^{5} \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{C}}.
a. Escreva as equações horárias do movimento da partícula
b. Obtenha a equação y(x) da trajetória da partícula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) escrever as equações horárias do movimento da partícula;
  • (b) obter a equação y(x) da trajetória.
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • massa: m=2\times10^{-10}\\ \mathrm{kg};
  • carga: q=+2\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • velocidade inicial: v_{0}=2\times10^{-10} (assume-se em \mathrm{m/s});
  • campo elétrico uniforme: E=10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Condições iniciais que usarei (padrão para este tipo de problema): no instante t=0 a partícula entra na região em (x,y)=(0,0) e sua velocidade inicial é \vec{v}(0)=(v_{0},0), ou seja, v_{x}(0)=v_{0} e v_{y}(0)=0. Também tomo o eixo y orientado no sentido do campo E (se E aponta para cima, a_y será positiva).

Passo 2

Força elétrica e aceleração. A força sobre a carga é dada por \vec{F}=q\vec{E}. Como \vec{E} é uniforme e, por hipótese, dirigida ao longo de y, só haverá componente y de força. Pela segunda lei de Newton,
\vec{F}=m\vec{a}\quad\Rightarrow\quad a_y=\frac{qE}{m},\qquad a_x=0.
Agora calculo numericamente a_y. Substituindo os números:
qE=(2\times10^{-19})\cdot(10^{5})=2\times10^{-14}\\ \mathrm{N},
a_y=\frac{2\times10^{-14}}{2\times10^{-10}}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto \;a_y=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}} (para cima, pois q>0) e \;a_x=0.

Passo 3

Revisão rápida e intuição das equações de movimento (movimento com aceleração constante, em componentes). Para aceleração constante em uma direção, as fórmulas elementares da cinemática são (derivadas integrando aceleração):
  • velocidade: \;v(t)=v(0)+a\,t;
  • posição: \;x(t)=x(0)+v(0)\,t+\dfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Aplicando isso separadamente às componentes x e y:
  • como a_x=0, a velocidade v_x(t)=v_x(0)=v_{0} e a posição em x é uma função linear do tempo;
  • como a_y é constante e v_y(0)=0, a velocidade e a posição em y obedecem às fórmulas com v_y(0)=0.

Passo 4

Montando as equações horárias com as condições iniciais x(0)=0, y(0)=0, v_x(0)=v_{0}, v_y(0)=0:
x(t)=v_{0}\,t,
y(t)=\tfrac{1}{2}a_{y}\,t^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{qE}{m}\right)t^{2}.
Substituindo o valor numérico de a_{y} encontrado:
y(t)=\tfrac{1}{2}\cdot(1\times10^{-4})\,t^{2}=\tfrac{1}{2}\times10^{-4}\,t^{2}=5\times10^{-5}\,t^{2},
onde t está em segundos e y em metros. (Relembre: isso vem direto de integrar a aceleração constante duas vezes.)

Passo 5

Encontrando y(x): elimino t entre x(t) e y(t). De x(t)=v_{0}t vem
t=\frac{x}{v_{0}}.
Substituo em y(t):
y(x)=\tfrac{1}{2}a_{y}\left(\frac{x}{v_{0}}\right)^{2}=\frac{a_{y}}{2v_{0}^{2}}\,x^{2}.
Agora substituo a_{y}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}} e v_{0}=2\times10^{-10}\\ \mathrm{m/s}. Primeiro calcule v_{0}^{2} e o denominador:
v_{0}^{2}=(2\times10^{-10})^{2}=4\times10^{-20},
2v_{0}^{2}=8\times10^{-20}.
Portanto
\frac{a_{y}}{2v_{0}^{2}}=\frac{1\times10^{-4}}{8\times10^{-20}}=\frac{1}{8}\times10^{16}=1,25\times10^{15}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Logo a equação da trajetória é
y(x)=1,25\times10^{15}\,x^{2},
onde x e y estão em metros. Observação rápida de unidades: o coeficiente tem unidade \mathrm{m^{-1}}, assim y fica em metros quando se coloca x em metros.

Passo 6

Pequeno resumo didático e dica prática para prova:
  • primeiro use F=qE para obter a aceleração \,a=\dfrac{qE}{m}\,;
  • se a velocidade inicial for só na horizontal ( v_{y}(0)=0), então x(t)=v_{0}t e y(t)=\tfrac{1}{2}at^{2};
  • para obter y(x) elimine t com t=x/v_{0} e substitua;
  • verifique sempre o sinal de a (depende do sinal de q e da direção de E).
Força na perna e ânimo: já tens a técnica — usa sempre esse roteiro em provas: calcule a com Newton, escreva equações por componentes, depois elimine t. Vai dar certo!

Resposta

(a) \;x(t)=v_{0}t,\qquad y(t)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{qE}{m}\right)t^{2}.
(b) \;y(x)=\dfrac{qE}{2m v_{0}^{2}}\,x^{2}=1,25\times10^{15}\,x^{2}.

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