Em um canal aberto de seção reta triangular, com inclinação dos lados igual a 45^{\circ}, escoa uma certa vazão em regime permanente e uniforme. A altura d’água é \mathrm{y}_{\mathrm{o}} e a declividade de fundo é \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Determine:
a) O raio hidráulico, em cm ; (valor: 0,5 )
b) A velocidade de atrito média na seção, \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{s}; (valor: 0,5 )
Considere os seguintes dados:
i. Altura d’água, em m: soma dos valores dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 30;
ii. Dados: \mathrm{I}_{\mathrm{o}}=0,0020 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;
iii. Sugestão: relembre o conceito de raio hidráulico;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o raio hidráulico da seção triangular, em centímetros;
  • (b) a velocidade de atrito média na seção, em \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
Dados fornecidos:
  • declividade do fundo: \displaystyle I_{o}=0{,}0020\\ \mathrm{m}/\mathrm{m};
  • densidade da água: \displaystyle \rho_{\text{água}}=10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á;
  • aceleração da gravidade: \displaystyle g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2};
  • a altura d’água é dada por: “soma dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 30”. Como você não forneceu a matrícula, eu não sei esse somatório. Vou chamar esse somatório de \displaystyle S (número adimensional) e, portanto, a altura d’água será
\displaystyle y_{o}=\frac{S}{30}\\ \mathrm{m}.
Observação importante: sem o valor numérico de \displaystyle S não é possível dar um número final concreto; por isso apresentarei as expressões fechadas em função de \displaystyle S e também as formas numéricas aproximadas que permitem calcular rapidamente quando \displaystyle S for conhecido.

Passo 2

Relembrando o que é raio hidráulico e como calculá‑lo:
  • Definição: o raio hidráulico é a razão entre a área molhada da seção e o perímetro molhado,
\displaystyle R=\frac{A}{P},
onde \displaystyle A é a área da seção molhada e \displaystyle P é o perímetro molhado (comprimento de contato água-solo).
Agora calculamos \displaystyle A e \displaystyle P para a seção triangular isósceles de altura \displaystyle y_{o} cujos lados fazem 45^{\circ} com a horizontal (ou seja, declividade lateral 1 horizontal para 1 vertical).
Geometria da seção:
  • Para cada lado inclinado 45^{\circ}, a projeção horizontal é igual à profundidade \displaystyle y_{o}. Sendo a seção simétrica, a largura da base vale
\displaystyle b = 2\,y_{o}.
  • Área do triângulo:
\displaystyle A=\frac{1}{2}\,b\,y_{o}=\frac{1}{2}\,(2y_{o})\,y_{o}=y_{o}^{2}.
  • Comprimento de cada lado oblíquo: hipotenusa de um triângulo com catetos \displaystyle y_{o} e \displaystyle y_{o}, logo
\displaystyle \ell = y_{o}\sqrt{2}.
  • Perímetro molhado (base + dois lados):
\displaystyle P = b + 2\ell = 2y_{o} + 2y_{o}\sqrt{2}=2y_{o}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Agora o raio hidráulico em metros:
\displaystyle R=\frac{A}{P}=\frac{y_{o}^{2}}{2y_{o}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}=\frac{y_{o}}{2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}.
Converter para centímetros: 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}. Substituindo \displaystyle y_{o}=\dfrac{S}{30} obtemos
\displaystyle R_{\text{(cm)}}=100\cdot R =100\cdot\frac{y_{o}}{2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)} =100\cdot\frac{S/30}{2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}.
Simplificando a constante:
\displaystyle R_{\text{(cm)}}=\frac{5S}{3\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}\\ \mathrm{cm}.
Para referência numérica, \displaystyle 1+\sqrt{2}\approx 2{,}41421356, então
\displaystyle R_{\text{(cm)}}\approx 0{,}69099\,S\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora vamos à velocidade de atrito média (velocidade de fricção), que chamarei de \displaystyle u_{*}.
Conceito e fórmula usada:
  • Em escoamento uniforme e permanente, a tensão de cisalhamento média no fundo é
\displaystyle \tau_{0}=\rho\,g\,R\,I_{o},
onde \displaystyle R é o raio hidráulico em metros e \displaystyle I_{o} é a declividade do fundo.
  • A velocidade de atrito (ou velocidade de fricção) é definida por
\displaystyle u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{\rho}}=\sqrt{g\,R\,I_{o}}.
Note que a densidade cancela: \displaystyle u_{*}=\sqrt{gRI_{o}}.
Substituindo \displaystyle R=\dfrac{y_{o}}{2(1+\sqrt{2})} e \displaystyle y_{o}=\dfrac{S}{30} obtemos a velocidade de atrito em metros por segundo:
\displaystyle u_{*}=\sqrt{g\cdot\frac{S/30}{2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}\cdot I_{o}}.
Para passar a \mathrm{cm}/\mathrm{s} multiplica‑se por 100:
\displaystyle u_{*\,(\mathrm{cm/s})}=100\sqrt{\frac{g\,I_{o}\,S}{30\cdot 2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}}.
Agora colocamos os valores numéricos conhecidos ( \displaystyle g=9{,}81, \displaystyle I_{o}=0{,}0020) apenas na constante; deixando \displaystyle S livre:
\displaystyle u_{*\,(\mathrm{cm/s})}=100\sqrt{\frac{9{,}81\cdot 0{,}0020\;S}{60\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}}.
Calculando a constante numérica:
\displaystyle u_{*\,(\mathrm{cm/s})}\approx 1{,}16395\;\sqrt{S}\\ \mathrm{cm/s}.
(ou, com menos casas: u_{*\,(\mathrm{cm/s})}\approx 1{,}164\sqrt{S}\\ \mathrm{cm/s}.)
Interpretação prática: quando você souber o valor de \displaystyle S (soma dos algarismos da matrícula), basta substituir na expressão acima para obter \displaystyle u_{*} em \mathrm{cm}/\mathrm{s}.

Passo 4

Resumo didático e dica para a prova (passo a passo rápido para aplicar com sua matrícula na hora):
  1. Calcule \displaystyle S= soma dos dígitos da sua matrícula.
  2. Calcule \displaystyle y_{o}=S/30 (em metros).
  3. Calcule o raio hidráulico em cm pela fórmula já pronta:
\displaystyle R_{\text{(cm)}}=\frac{5S}{3\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}.
  1. Calcule a velocidade de atrito em \mathrm{cm}/\mathrm{s} pela fórmula pronta:
\displaystyle u_{*\,(\mathrm{cm/s})}=100\sqrt{\frac{g\,I_{o}\,S}{30\cdot 2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}}\approx 1{,}16395\sqrt{S}.
Se quiser, me diga o valor de \displaystyle S e eu já calculo os números para você — vai ser rapidinho!

Resposta

\displaystyle R_{\text{(cm)}}=\dfrac{5S}{3\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}\\ \mathrm{cm}
\displaystyle u_{*\,(\mathrm{cm/s})}=100\sqrt{\dfrac{g\,I_{o}\,S}{30\cdot 2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}}\approx 1{,}16395\sqrt{S}\\ \mathrm{cm/s}

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