Exemplo 3.7. Energia eletrostática e princípio de superposição.
Considere duas distribuições de cargas que, separadamente, produzem campos
e
. Calcule a energia total do sistema.
Da Eq. (3.54) temos que
Logo
Os dois primeiros termos do lado direito correspondem as energias associadas á cada distribuição de carga; já o terceiro está associado á interação entre as distribuições de cargas. Assim, a energia total não é apenas a soma das energias individuais; existe um termo que depende de como os campos se superpõem no espaço. Isso é uma consequência do fato da energia ter uma dependência quadrática do campo. Esse resultado, de certa forma, antecipa uma característica encontrada no fenômeno de interferência de ondas eletromagnéticas.
Considere duas distribuições de cargas que, separadamente, produzem campos
Passo 1
O enunciado dá duas distribuições de carga que, separadamente, produzem os campos
e
. A energia eletrostática total do sistema é dada por
onde
.
O que nos pedem: calcular explicitamente em termos de
,
(e, se possível, em termos das densidades de carga
e potenciais
).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
O que nos pedem: calcular explicitamente
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
- A relação básica usada é
sobre todo o espaço. - Podemos usar a decomposição
. - Para conectar campos a cargas/potenciais, usaremos
e a equação de Poisson . - Pressuposto técnico: cargas/localizações são tais que os potenciais
tendem a zero no infinito (assim termos de superfície em infinito desaparecem).
Passo 2
Expandir o quadrado do campo é o primeiro passo algébrico direto. Como
,
Substituindo essa expansão em
,
Interpretação imediata:
- Os dois primeiros termos são as energias próprias (self-energies) associadas isoladamente a cada distribuição de carga: definimos
e . - O terceiro termo,
, é o termo de interação entre as duas distribuições: ele depende de como os campos se sobrepõem no espaço.
Passo 3
Agora vamos reescrever o termo de interação em uma forma que envolva cargas e potenciais, o que é mais físico e útil na prática. Usamos
. Então
Agora aplicamos a identidade vetorial
Rearranjando,
Integrando sobre todo o espaço e usando o teorema da divergência,
Pelas hipóteses (potenciais que caem a zero no infinito), o termo de superfície na fronteira do espaço tende a zero, então fica
Usando a equação de Poisson
obtemos
Portanto o termo de interação pode ser escrito como
Por simetria, trocando índices, também vale
Isso mostra explicitamente que o termo de interação é o acoplamento entre a densidade de uma distribuição e o potencial produzido pela outra.
Passo 4
Juntando tudo, uma forma útil e compacta para a energia total é
Outra forma equivalente, frequentemente usada, é escrever a energia diretamente em função da densidade total
e do potencial total
:
Ao expandir a última integral obtemos
Como
, o último par de termos dá exatamente
, recuperando a forma do passo anterior. Isso confirma a coerência entre a expressão em termos de campos e a expressão em termos de cargas/potenciais.
Passo 5
Exemplo concreto e interpretação física (muito útil para a prova): para duas cargas pontuais
e
localizadas em
e
,
Então o termo de interação é
Esse é o familiar potencial de Coulomb entre duas cargas pontuais. Nota importante: as energias próprias
e
de cargas pontuais são, estritamente falando, infinitas (divergem) se integradas até o próprio local da carga — esse é o problema clássico da self-energy de uma carga pontual. Já o termo de interação entre cargas diferentes é finito e é a quantidade física que normalmente aparece como energia potencial entre partículas.
Comentário final encorajador: portanto a energia total não é simplesmente a soma linear das energias individuais porque a energia depende de
(termo quadrático). O termo cruzado
é o responsável pela interação entre distribuições de carga e pode ser escrito de forma prática como
(ou
), o que facilita cálculos em provas e exemplos.
Resposta
(e, para duas cargas pontuais
separadas por
:
.)