Exemplo 3.7. Energia eletrostática e princípio de superposição.
Considere duas distribuições de cargas que, separadamente, produzem campos \boldsymbol{E}_{1} e \boldsymbol{E}_{2}. Calcule a energia total do sistema.
Da Eq. (3.54) temos que
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{\substack{\text { todo } \\\ \text { espaço }}} \boldsymbol{E}^{2} d V=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{\substack{\text { todo } \\\ \text { espaço }}}\left(\boldsymbol{E}_{1}+\boldsymbol{E}_{2}\right)^{2} d Vçç
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U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{\substack{\text { todo } \\\ \text { espaço }}} \boldsymbol{E}_{1}{ }^{2} d V+\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{\substack{\text { todo } \\\ \text { espaço }}} \boldsymbol{E}_{2}{ }^{2} d V+\varepsilon_{0} \int_{\substack{\text { todo } \\\ \text { espaço }}} \boldsymbol{E}_{1} \cdot \boldsymbol{E}_{2} d Vççç
Os dois primeiros termos do lado direito correspondem as energias associadas á cada distribuição de carga; já o terceiro está associado á interação entre as distribuições de cargas. Assim, a energia total não é apenas a soma das energias individuais; existe um termo que depende de como os campos se superpõem no espaço. Isso é uma consequência do fato da energia ter uma dependência quadrática do campo. Esse resultado, de certa forma, antecipa uma característica encontrada no fenômeno de interferência de ondas eletromagnéticas.

Passo 1

O enunciado dá duas distribuições de carga que, separadamente, produzem os campos \boldsymbol{E}_{1} e \boldsymbol{E}_{2}. A energia eletrostática total do sistema é dada por
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo espaço}}\boldsymbol{E}^{2}dVç
onde \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{1}+\boldsymbol{E}_{2}.
O que nos pedem: calcular explicitamente U em termos de \boldsymbol{E}_{1}, \boldsymbol{E}_{2} (e, se possível, em termos das densidades de carga \rho_{1},\rho_{2} e potenciais \phi_{1},\phi_{2}).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • A relação básica usada é U=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\int \boldsymbol{E}^{2}dV sobre todo o espaço.
  • Podemos usar a decomposição \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{1}+\boldsymbol{E}_{2}.
  • Para conectar campos a cargas/potenciais, usaremos \boldsymbol{E}_{i}=-\nabla\phi_{i} e a equação de Poisson \nabla^{2}\phi_{i}=-\dfrac{\rho_{i}}{\varepsilon_{0}}.
  • Pressuposto técnico: cargas/localizações são tais que os potenciais \phi_{i} tendem a zero no infinito (assim termos de superfície em infinito desaparecem).

Passo 2

Expandir o quadrado do campo é o primeiro passo algébrico direto. Como \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{1}+\boldsymbol{E}_{2},
\boldsymbol{E}^{2}=(\boldsymbol{E}_{1}+\boldsymbol{E}_{2})^{2}=\boldsymbol{E}_{1}^{2}+\boldsymbol{E}_{2}^{2}+2\,\boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}.
Substituindo essa expansão em U,
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int \boldsymbol{E}_{1}^{2}dV+\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int \boldsymbol{E}_{2}^{2}dV+\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV.
Interpretação imediata:
  • Os dois primeiros termos são as energias próprias (self-energies) associadas isoladamente a cada distribuição de carga: definimos U_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\int\boldsymbol{E}_{1}^{2}dV e U_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\int\boldsymbol{E}_{2}^{2}dV.
  • O terceiro termo, \varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}dV, é o termo de interação entre as duas distribuições: ele depende de como os campos se sobrepõem no espaço.

Passo 3

Agora vamos reescrever o termo de interação em uma forma que envolva cargas e potenciais, o que é mais físico e útil na prática. Usamos \boldsymbol{E}_{i}=-\nabla\phi_{i}. Então
\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV =\varepsilon_{0}\int (\!- \nabla\phi_{1})\cdot(\!- \nabla\phi_{2})\,dV =\varepsilon_{0}\int \nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}\,dV.
Agora aplicamos a identidade vetorial
\nabla\cdot(\phi_{1}\nabla\phi_{2})=\nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}+\phi_{1}\nabla^{2}\phi_{2}.
Rearranjando,
\nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}=\nabla\cdot(\phi_{1}\nabla\phi_{2})-\phi_{1}\nabla^{2}\phi_{2}.
Integrando sobre todo o espaço e usando o teorema da divergência,
\int \nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}\,dV =\oint_{\infty}\phi_{1}\frac{\partial\phi_{2}}{\partial n}\,dS-\int \phi_{1}\nabla^{2}\phi_{2}\,dV.
Pelas hipóteses (potenciais que caem a zero no infinito), o termo de superfície na fronteira do espaço tende a zero, então fica
\int \nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}\,dV=-\int \phi_{1}\nabla^{2}\phi_{2}\,dV.
Usando a equação de Poisson \nabla^{2}\phi_{2}=-\dfrac{\rho_{2}}{\varepsilon_{0}} obtemos
\varepsilon_{0}\int \nabla\phi_{1}\cdot\nabla\phi_{2}\,dV =\varepsilon_{0}\left(-\int \phi_{1}\nabla^{2}\phi_{2}\,dV\right) =\varepsilon_{0}\left(-\int \phi_{1}\left(-\frac{\rho_{2}}{\varepsilon_{0}}\right)dV\right) =\int \phi_{1}\rho_{2}\,dV.
Portanto o termo de interação pode ser escrito como
\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV=\int \rho_{2}\phi_{1}\,dV.
Por simetria, trocando índices, também vale
\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV=\int \rho_{1}\phi_{2}\,dV.
Isso mostra explicitamente que o termo de interação é o acoplamento entre a densidade de uma distribuição e o potencial produzido pela outra.

Passo 4

Juntando tudo, uma forma útil e compacta para a energia total é
U=U_{1}+U_{2}+\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV =U_{1}+U_{2}+\int \rho_{1}\phi_{2}\,dV.
Outra forma equivalente, frequentemente usada, é escrever a energia diretamente em função da densidade total \rho=\rho_{1}+\rho_{2} e do potencial total \varphi=\phi_{1}+\phi_{2}:
U=\frac{1}{2}\int \rho\,\varphi\,dV =\frac{1}{2}\int (\rho_{1}+\rho_{2})(\phi_{1}+\phi_{2})\,dV.
Ao expandir a última integral obtemos
U=\frac{1}{2}\int \rho_{1}\phi_{1}\,dV+\frac{1}{2}\int \rho_{2}\phi_{2}\,dV+\frac{1}{2}\int(\rho_{1}\phi_{2}+\rho_{2}\phi_{1})\,dV.
Como \int\rho_{1}\phi_{2}=\int\rho_{2}\phi_{1}, o último par de termos dá exatamente \int\rho_{1}\phi_{2}, recuperando a forma do passo anterior. Isso confirma a coerência entre a expressão em termos de campos e a expressão em termos de cargas/potenciais.

Passo 5

Exemplo concreto e interpretação física (muito útil para a prova): para duas cargas pontuais q_{1} e q_{2} localizadas em \boldsymbol{r}_{1} e \boldsymbol{r}_{2},
\rho_{1}(\boldsymbol{r})=q_{1}\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}),\qquad \phi_{2}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{2}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}|}.
Então o termo de interação é
\int \rho_{1}\phi_{2}\,dV=q_{1}\phi_{2}(\boldsymbol{r}_{1}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|}.
Esse é o familiar potencial de Coulomb entre duas cargas pontuais. Nota importante: as energias próprias U_{1} e U_{2} de cargas pontuais são, estritamente falando, infinitas (divergem) se integradas até o próprio local da carga — esse é o problema clássico da self-energy de uma carga pontual. Já o termo de interação entre cargas diferentes é finito e é a quantidade física que normalmente aparece como energia potencial entre partículas.
Comentário final encorajador: portanto a energia total não é simplesmente a soma linear das energias individuais porque a energia depende de \boldsymbol{E}^{2} (termo quadrático). O termo cruzado \varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}dV é o responsável pela interação entre distribuições de carga e pode ser escrito de forma prática como \int \rho_{1}\phi_{2}dV (ou \int \rho_{2}\phi_{1}dV), o que facilita cálculos em provas e exemplos.

Resposta

U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int \boldsymbol{E}_{1}^{2}dV+\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int \boldsymbol{E}_{2}^{2}dV+\varepsilon_{0}\int \boldsymbol{E}_{1}\cdot\boldsymbol{E}_{2}\,dV
U=U_{1}+U_{2}+\int \rho_{1}\phi_{2}\,dV
U=\frac{1}{2}\int (\rho_{1}+\rho_{2})(\phi_{1}+\phi_{2})\,dV
(e, para duas cargas pontuais q_{1},q_{2} separadas por r: U_{\text{int}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q_{1}q_{2}}{r}.)

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