Exemplo 3.9 - A atmosfera terrestre como um capacitor
Alguns processos que ocorrem no nosso planeta, provocam distribuições de cargas na superfície e na atmosfera terrestres. Dentre esses processos podemos citar, os raios cósmicos, o decaimento radioativo e os raios que ocorrem durante tempestades. Como resultado desses processos, há uma distribuição média de carga negativa sobre a superfície terrestre cujo valor é aproximadamente -5 \times 10^{5} \mathrm{C}. Há uma quantidade igual de cargas positivas distribuidas sobre a atmosfera. Essas distribuições de cargas criam uma campo elétrico, com sentido para baixo, de magnitude média de 100 \frac{V}{m}. Esse campo é denominado campo elétrico de tempo bom, pois existe mesmo na ausência de tempestades.
Ainda que a carga positiva esteja espalhada pela atmosfera, podemos considerar uma altura efetiva de aproximadamente 10 km (a altura da ionosfera terrestre)., como a região em que está localizada a carga positiva. Desse modo, podemos associar um capacitor á atmosfera, cuja placa negativa seria a superfície terretre e a placa positiva a ionosfera. A capacitância desse sistema é dada pela Eq. 3.65. Assim
C=4 \pi \varepsilon_{0} \frac{R_{T}\left(R_{T}+h\right)}{h}
Substituindo os valores numéricos
C=\frac{4 \pi \times 8,85 \times 10^{-12} \times 6,4 \times 10^{3} \mathrm{~km}\left(6,4 \times 10^{6} \mathrm{~m}+10^{4} \mathrm{~m}\right)}{10 \mathrm{~km}}=0,46 F
Essa capacitância é muito importante para o equilíbrio elétrico da Terra. Posteriormente, discutiremos novos aspectos da eletricidade atmosférica.

Passo 1

O enunciado fornece (resumo claro do que foi dado):
  • Há uma associação capacitiva entre a superfície da Terra (placa negativa) e a ionosfera (placa positiva) com uma altura efetiva \,h=10\\ \text{km}.
  • O raio da Terra usado é \,R_{T}=6{,}4\times10^{6}\\ \text{m}.
  • A permissividade elétrica do vácuo é \,\varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • O enunciado já indica a fórmula da capacitância para este sistema:
C=4\pi\varepsilon_{0}\frac{R_{T}\left(R_{T}+h\right)}{h}.
O que o problema pede:
  • Calcular numericamente a capacitância C usando os valores fornecidos.

Passo 2

Vou explicar de onde vem a fórmula (a derivação) — passo a passo, sem pular etapas.
Considere um capacitor formado por duas esferas concêntricas: raio da esfera interna a e raio da esfera externa b ( b>a). Se a carga Q está na esfera interna e a região entre as esferas é vácuo, o campo elétrico entre as esferas (para a<r<b) é o mesmo de uma carga puntiforme Q no centro:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.
A diferença de potencial entre as duas esferas é a integral do campo:
V=\int_{a}^{b}E(r)\,dr=\int_{a}^{b}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,dr.
Calcule a integral:
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{b}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
A capacitância é C=\dfrac{Q}{V}. Substituindo V:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)}=4\pi\varepsilon_{0}\frac{1}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
Colocando a expressão com denominador comum:
\frac{1}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}=\frac{1}{\dfrac{b-a}{ab}}=\frac{ab}{b-a},
portanto a fórmula geral é
C=4\pi\varepsilon_{0}\frac{ab}{b-a}.
No nosso caso identificamos a=R_{T} e b=R_{T}+h. Assim b-a=h e obtemos a fórmula dada no enunciado:
C=4\pi\varepsilon_{0}\frac{R_{T}\left(R_{T}+h\right)}{h}.

Passo 3

Agora fazemos a substituição numérica com atenção às unidades (conversões):
  • \;R_{T}=6{,}4\times10^{6}\\ \text{m}.
  • \;h=10\\ \text{km}=1{,}0\times10^{4}\\ \text{m}.
  • \;\varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Substituindo na fórmula:
C=4\pi\left(8{,}85\times10^{-12}\right)\frac{\left(6{,}4\times10^{6}\right)\left(6{,}4\times10^{6}+1{,}0\times10^{4}\right)}{1{,}0\times10^{4}}.

Passo 4

Fazendo as contas em notação científica, passo a passo, para não depender de calculadora complexa.
  1. Calcule R_{T}+h:
R_{T}+h=6{,}4\times10^{6}+1{,}0\times10^{4}=6{,}410\times10^{6}=6{,}41\times10^{6}\\ \text{m}.
  1. Produto R_{T}\left(R_{T}+h\right):
\left(6{,}4\times10^{6}\right)\left(6{,}41\times10^{6}\right)=(6{,}4\cdot6{,}41)\times10^{12}.
Calcule 6{,}4\cdot6{,}41=41{,}024. Assim
R_{T}\left(R_{T}+h\right)=41{,}024\times10^{12}=4{,}1024\times10^{13}.
  1. Divida pelo h=1{,}0\times10^{4}:
\frac{R_{T}\left(R_{T}+h\right)}{h}=\frac{4{,}1024\times10^{13}}{1{,}0\times10^{4}}=4{,}1024\times10^{9}.
  1. Calcule o fator frontal 4\pi\varepsilon_{0}. É conveniente lembrar a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Assim
4\pi\varepsilon_{0}=\frac{1}{k}\approx\frac{1}{8{,}98755179\times10^{9}}\approx1{,}11265\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
(ou diretamente 4\pi\cdot8{,}85\times10^{-12}\approx1{,}11265\times10^{-10}.)
  1. Multiplique:
C=\left(1{,}11265\times10^{-10}\right)\left(4{,}1024\times10^{9}\right).
Multiplicando os coeficientes: 1{,}11265\cdot4{,}1024\approx4{,}564. E somando expoentes: 10^{-10}\cdot10^{9}=10^{-1}. Logo
C\approx4{,}564\times10^{-1}\\ \mathrm{F}=0{,}4564\\ \mathrm{F}.
  1. Arredondando para duas casas significativas (consistentes com os dados):
C\approx0{,}46\\ \mathrm{F}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o resultado é surpreendentemente grande — cerca de meio farad — porque a “área” efetiva é gigantesca (a Terra inteira). Isso explica por que a Terra/ionosfera conseguem armazenar uma quantidade apreciável de carga com diferença de potencial da ordem de 10^{6}\\ \text{V}. Se quiser, dá para calcular a diferença de potencial média usando V=Q/C com Q=5\times10^{5}\\ \mathrm{C} e ver que dá algo da ordem de 10^{6}\\ \text{V} — exercício rápido que posso mostrar se desejar.
Força na perna: você conseguiu acompanhar a derivação inteira — respira, isso é sólido e útil para a prova!

Resposta

0{,}46\\ \mathrm{F}

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