Exemplo 3.9 - A atmosfera terrestre como um capacitor
Alguns processos que ocorrem no nosso planeta, provocam distribuições de cargas na superfície e na atmosfera terrestres. Dentre esses processos podemos citar, os raios cósmicos, o decaimento radioativo e os raios que ocorrem durante tempestades. Como resultado desses processos, há uma distribuição média de carga negativa sobre a superfície terrestre cujo valor é aproximadamente
. Há uma quantidade igual de cargas positivas distribuidas sobre a atmosfera. Essas distribuições de cargas criam uma campo elétrico, com sentido para baixo, de magnitude média de
. Esse campo é denominado campo elétrico de tempo bom, pois existe mesmo na ausência de tempestades.
Ainda que a carga positiva esteja espalhada pela atmosfera, podemos considerar uma altura efetiva de aproximadamente 10 km (a altura da ionosfera terrestre)., como a região em que está localizada a carga positiva. Desse modo, podemos associar um capacitor á atmosfera, cuja placa negativa seria a superfície terretre e a placa positiva a ionosfera. A capacitância desse sistema é dada pela Eq. 3.65. Assim
Substituindo os valores numéricos
Essa capacitância é muito importante para o equilíbrio elétrico da Terra. Posteriormente, discutiremos novos aspectos da eletricidade atmosférica.
Passo 1
O enunciado fornece (resumo claro do que foi dado):
- Há uma associação capacitiva entre a superfície da Terra (placa negativa) e a ionosfera (placa positiva) com uma altura efetiva
. - O raio da Terra usado é
. - A permissividade elétrica do vácuo é
. - O enunciado já indica a fórmula da capacitância para este sistema:
O que o problema pede:
- Calcular numericamente a capacitância
usando os valores fornecidos.
Passo 2
Vou explicar de onde vem a fórmula (a derivação) — passo a passo, sem pular etapas.
Considere um capacitor formado por duas esferas concêntricas: raio da esfera interna
e raio da esfera externa
(
). Se a carga
está na esfera interna e a região entre as esferas é vácuo, o campo elétrico entre as esferas (para
) é o mesmo de uma carga puntiforme
no centro:
A diferença de potencial entre as duas esferas é a integral do campo:
Calcule a integral:
A capacitância é
. Substituindo
:
Colocando a expressão com denominador comum:
portanto a fórmula geral é
No nosso caso identificamos
e
. Assim
e obtemos a fórmula dada no enunciado:
Passo 3
Agora fazemos a substituição numérica com atenção às unidades (conversões):
-
. -
. -
.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Fazendo as contas em notação científica, passo a passo, para não depender de calculadora complexa.
- Calcule
:
- Produto
:
Calcule
. Assim
- Divida pelo
:
- Calcule o fator frontal
. É conveniente lembrar a constante . Assim
(ou diretamente
.)
- Multiplique:
Multiplicando os coeficientes:
. E somando expoentes:
. Logo
- Arredondando para duas casas significativas (consistentes com os dados):
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: o resultado é surpreendentemente grande — cerca de meio farad — porque a “área” efetiva é gigantesca (a Terra inteira). Isso explica por que a Terra/ionosfera conseguem armazenar uma quantidade apreciável de carga com diferença de potencial da ordem de
. Se quiser, dá para calcular a diferença de potencial média usando
com
e ver que dá algo da ordem de
— exercício rápido que posso mostrar se desejar.
Força na perna: você conseguiu acompanhar a derivação inteira — respira, isso é sólido e útil para a prova!