Exemplo 3.8. O raio clássico do elétron

Segundo a teoria da relatividade restrita, uma partícula de massa m possui uma energia de repouso dada por
E=m c^{2}
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Para o elétron, temos que
E=m_{e} c^{2}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times\left(3,00 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right)^{2}=8,19 \times 10^{-14} \mathrm{~J}
Queremos estimar o tamanho da região onde essa energia está distribuída. Desprezando o fator 3 / 5 na Eq. (3.58), pois não sabemos com certeza a distribuição de carga dentro do elétron, podemos definir o raio clássico do elétron como
\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{e}}=m_{e} c^{2} \quad \rightarrow \quad r_{e}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{e} c^{2}}=2,82 \times 10^{-15} m
Essa expressão para o “raio” do elétron não pode ser tomada num sentido estritamente geométrico. Contudo, ela é útil em alguns contextos de cálculos de seções de choques em eletrodinâmica clássica, como, por exemplo, no espalhamento Thomson.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que se estime o “raio clássico do elétron”:
  • A energia de repouso de uma partícula de massa m é dada por
E = m c^{2}.
  • Para o elétron foi fornecido o valor (no enunciado)
m_{e} c^{2} = 8{,}19 \times 10^{-14}\\ \mathrm{J}
(essa é a energia de repouso do elétron; mais adiante vou usar o valor padrão mais preciso para m_e c^2 ao calcular numericamente).
  • A ideia física usada para definir o “raio clássico” é igualar essa energia de repouso à energia eletrostática associada à própria carga do elétron; despreza-se o fator 3/5 que aparece quando se assume uma distribuição uniforme de carga (o enunciado pede justamente desprezar esse fator porque a distribuição real de carga dentro do elétron não é conhecida).
  • A expressão a ser usada (a partir da igualdade energia eletrostática \approx energia de repouso) é
\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r_{e}} = m_{e} c^{2},
e o objetivo é isolar r_{e} e calcular numericamente seu valor.

Passo 2

Explicação física e matemática do método (passo a passo conceitual, sem ainda calcular):
  • O que significa igualar energias: estamos assumindo, de forma clássica, que a energia armazenada no campo elétrico associado à carga do elétron (uma estimativa da “energia eletrostática de auto-interação”) tem a mesma ordem de grandeza que a energia de repouso m_{e}c^{2}. Isso não é rigoroso quântica ou relativisticamente, mas dá uma escala de comprimento útil.
  • Energia eletrostática aproximada: para uma carga e concentrada em uma região de raio r, uma estimativa simples para a energia característica é \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}. (Observação: para uma esfera de carga uniforme a fórmula exata dá um fator 3/5 multiplicando essa expressão; aqui o enunciado pede desprezar esse fator.)
  • Igualando as duas energias e resolvendo para r obtemos a definição do raio clássico:
r_{e} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} m_{e} c^{2}}.
Agora vamos meter a mão nos números com bastante cuidado de unidades.

Passo 3

Listagem e significado das constantes que aparecem na fórmula (com seus valores e unidades):
  • e é a carga elementar (carga do elétron em magnitude):
e = 1{,}602176634 \times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo:
\varepsilon_{0} = 8{,}8541878128 \times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\quad(\text{farad por metro}).
  • c é a velocidade da luz no vácuo:
c = 2{,}99792458 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • m_{e} é a massa do elétron:
m_{e} = 9{,}10938356 \times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Comentário sobre unidades: a combinação \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} tem unidades de energia vezes comprimento (J·m), e ao dividir por m_{e}c^{2} (que tem unidades de energia) obtemos um comprimento (metros), como desejado.

Passo 4

Cálculo passo a passo do numerador \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}:
  • Primeiro calcule e^{2}:
e^{2} = \left(1{,}602176634\times10^{-19}\right)^{2} = 2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Definimos a constante coulombiana
k \equiv \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Portanto o produto k e^{2} é
\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} = k e^{2} = 8{,}9875517923\times10^{9}\times 2{,}5669699\times10^{-38}.
  • Multiplicando (organizando potências de 10) temos
k e^{2} = 2{,}30707755\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
(Obs.: a unidade J·m vem porque k e^{2}/r tem unidade de energia, logo k e^{2} tem unidade energia × comprimento.)

Passo 5

Cálculo do denominador m_{e} c^{2} (energia de repouso do elétron) com os valores padrão:
  • Primeiro c^{2}:
c^{2} = \left(2{,}99792458\times10^{8}\right)^{2} = 8{,}987551787\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Então
m_{e} c^{2} = 9{,}10938356\times10^{-31}\times 8{,}987551787\times10^{16} = 8{,}18710565\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
(Esse valor é o mesmo tipo de número que o enunciado deu como 8{,}19\times10^{-14}\\ \mathrm{J}, aqui usei a notação mais precisa.)

Passo 6

Divisão para obter r_{e}:
  • Agora fazemos
r_{e} = \frac{ \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} }{ m_{e} c^{2} } = \frac{2{,}30707755\times10^{-28}}{8{,}18710565\times10^{-14}}.
  • Dividindo os mantissas e tratando a potência de 10:
r_{e} = \left(\frac{2{,}30707755}{8{,}18710565}\right)\times10^{-28 -(-14)} = 0{,}2817940327\times10^{-14} = 2{,}817940327\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação do resultado:
  • Arredondando para três algarismos significativos (padrão em muitos livros) obtemos
r_{e} \approx 2{,}82\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação física curta e motivadora: esse valor é chamado de “raio clássico do elétron”. Não significa que o elétron seja uma esfera física de raio r_{e} — questões quânticas e relativísticas mudam totalmente o quadro —, mas essa escala de comprimento é útil em contextos clássicos (por exemplo, na estimativa de seções de choque como o espalhamento Thomson). Se incluíssemos o fator 3/5 que surge para uma esfera de carga uniforme, o valor numérico mudaria por esse fator (ficaria menor, cerca de 0{,}6 vezes o valor acima), razão pela qual o enunciado optou por desprezá-lo por não sabermos a distribuição real da carga.

Resposta

r_{e}=2{,}82\times10^{-15}\\ \mathrm{m}

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