Exemplo 3.8. O raio clássico do elétron
Segundo a teoria da relatividade restrita, uma partícula de massa
possui uma energia de repouso dada por
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Para o elétron, temos que
Queremos estimar o tamanho da região onde essa energia está distribuída. Desprezando o fator
na Eq. (3.58), pois não sabemos com certeza a distribuição de carga dentro do elétron, podemos definir o raio clássico do elétron como
Essa expressão para o “raio” do elétron não pode ser tomada num sentido estritamente geométrico. Contudo, ela é útil em alguns contextos de cálculos de seções de choques em eletrodinâmica clássica, como, por exemplo, no espalhamento Thomson.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que se estime o “raio clássico do elétron”:
- A energia de repouso de uma partícula de massa
é dada por
- Para o elétron foi fornecido o valor (no enunciado)
(essa é a energia de repouso do elétron; mais adiante vou usar o valor padrão mais preciso para
ao calcular numericamente).
- A ideia física usada para definir o “raio clássico” é igualar essa energia de repouso à energia eletrostática associada à própria carga do elétron; despreza-se o fator
que aparece quando se assume uma distribuição uniforme de carga (o enunciado pede justamente desprezar esse fator porque a distribuição real de carga dentro do elétron não é conhecida). - A expressão a ser usada (a partir da igualdade energia eletrostática
energia de repouso) é
e o objetivo é isolar
e calcular numericamente seu valor.
Passo 2
Explicação física e matemática do método (passo a passo conceitual, sem ainda calcular):
- O que significa igualar energias: estamos assumindo, de forma clássica, que a energia armazenada no campo elétrico associado à carga do elétron (uma estimativa da “energia eletrostática de auto-interação”) tem a mesma ordem de grandeza que a energia de repouso
. Isso não é rigoroso quântica ou relativisticamente, mas dá uma escala de comprimento útil. - Energia eletrostática aproximada: para uma carga
concentrada em uma região de raio , uma estimativa simples para a energia característica é . (Observação: para uma esfera de carga uniforme a fórmula exata dá um fator multiplicando essa expressão; aqui o enunciado pede desprezar esse fator.) - Igualando as duas energias e resolvendo para
obtemos a definição do raio clássico:
Agora vamos meter a mão nos números com bastante cuidado de unidades.
Passo 3
Listagem e significado das constantes que aparecem na fórmula (com seus valores e unidades):
-
é a carga elementar (carga do elétron em magnitude):
-
é a permissividade do vácuo:
-
é a velocidade da luz no vácuo:
-
é a massa do elétron:
Comentário sobre unidades: a combinação
tem unidades de energia vezes comprimento (J·m), e ao dividir por
(que tem unidades de energia) obtemos um comprimento (metros), como desejado.
Passo 4
Cálculo passo a passo do numerador
:
- Primeiro calcule
:
- Definimos a constante coulombiana
- Portanto o produto
é
- Multiplicando (organizando potências de 10) temos
(Obs.: a unidade J·m vem porque
tem unidade de energia, logo
tem unidade energia × comprimento.)
Passo 5
Cálculo do denominador
(energia de repouso do elétron) com os valores padrão:
- Primeiro
:
- Então
(Esse valor é o mesmo tipo de número que o enunciado deu como
, aqui usei a notação mais precisa.)
Passo 6
Divisão para obter
:
- Agora fazemos
- Dividindo os mantissas e tratando a potência de 10:
Passo 7
Arredondamento e interpretação do resultado:
- Arredondando para três algarismos significativos (padrão em muitos livros) obtemos
- Interpretação física curta e motivadora: esse valor é chamado de “raio clássico do elétron”. Não significa que o elétron seja uma esfera física de raio
— questões quânticas e relativísticas mudam totalmente o quadro —, mas essa escala de comprimento é útil em contextos clássicos (por exemplo, na estimativa de seções de choque como o espalhamento Thomson). Se incluíssemos o fator que surge para uma esfera de carga uniforme, o valor numérico mudaria por esse fator (ficaria menor, cerca de vezes o valor acima), razão pela qual o enunciado optou por desprezá-lo por não sabermos a distribuição real da carga.