Exemplo 4 Estime o coeficiente de difusão do benzeno no ar, em \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}, assumindo comportamento de gás ideal e utilizando uma correlação empírica para difusão gasosa.
Considere que o diâmetro molecular efetivo permanece constante e igual a 1,72 \AA.
Compare o valor estimado com o coeficiente de difusão experimental \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} fornecido.

Dados:

Temperatura: \mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}
Massa molar do benzeno: \mathrm{M}_{\mathrm{C} 6 \mathrm{H} 6}=78,11 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
Massa molar do ar: \mathrm{M}_{\mathrm{ar}}=29 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
Constante universal dos gases: R=82,05 atm.cm { }^{3} /( g.mol.K )
Volume molar normal: \rho_{\mathrm{ar}}=1,184 \mathrm{~g} / \mathrm{L}
Pressão total: \mathrm{P}=1 \mathrm{~atm}
Coeficiente de difusão experimental: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}, \exp }=0,088 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}

Pede-se:

a) Estimar o coeficiente de difusão do benzeno no ar, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}.
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e o valor experimental.
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram retirados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=25^\circ\text{C}.
  • Massa molar do benzeno: M_{\mathrm{C_6H_6}}=78{,}11\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar do ar: M_{\mathrm{ar}}=29\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante dos gases (unidade dada): R=82{,}05\\ \mathrm{atm\cdot cm^3/(g\cdot mol\cdot K)}.
  • Densidade do ar (massa por volume): \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}184\\ \mathrm{g/L} (dado, não usado diretamente na correlação escolhida).
  • Pressão total: P=1\\ \mathrm{atm}.
  • Diâmetro molecular efetivo (dados do enunciado): \sigma = 1{,}72\\ \text{\AA}.
  • Coeficiente de difusão experimental: D_{AB,\exp}=0{,}088\\ \mathrm{cm^2/s}.
O que se pede:
a) Estimar o coeficiente de difusão do benzeno no ar D_{AB} em \mathrm{cm^2/s}.
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e D_{AB,\exp}.
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem fórmulas ainda).
  • O enunciado pede estimativa a partir de uma correlação empírica/teórica e fornece explicitamente um diâmetro molecular efetivo \sigma. Esse dado é típico de correlações baseadas na teoria cinética (Chapman–Enskog), que relacionam D_{AB} com temperatura, pressão, massas molares e um diâmetro de colisão.
  • Vou usar a forma prática da equação de Chapman–Enskog (uma correlação derivada da teoria dos gases) que é amplamente usada para estimativas de difusão binária em gases e que aceita \sigma como entrada. É uma escolha natural aqui porque o enunciado forneceu \sigma.

Passo 3

Apresentação da fórmula a ser usada e explicação didática de cada termo.
A forma prática utilizada (unidades convencionais de engenharia) é:
D_{AB} \;=\; \frac{0{,}001858\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{AB}^2\;\Omega_D}\;\sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}}
Explicando cada símbolo (muito importante):
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária entre espécies A (benzeno) e B (ar), em \mathrm{cm^2/s}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • P é a pressão em atmosferas ( \mathrm{atm}).
  • \sigma_{AB} é o diâmetro efetivo de colisão entre A e B, em \text{\AA} (ångström) nesta forma prática. O enunciado deu \sigma=1{,}72\\ \text{\AA}; usaremos esse valor.
  • \Omega_D é a integral de colisão (collision integral) adimensional que corrige o efeito das forças intermoleculares na difusão; depende de T e do potencial intermolecular (Lennard-Jones). Para uma estimativa grosseira tomaremos \Omega_D\approx 1{,}0. Em aplicações mais precisas \Omega_D é obtida de tabelas em função de k_B T/\epsilon.
  • M_A e M_B são as massas molares (em \mathrm{g/mol}) de A (benzeno) e B (ar). A raiz quadrada no final vem da combinação das massas reduzidas que aparece na teoria cinética.
  • O fator numérico 0{,}001858 é uma constante resultante da combinação de constantes físicas e conversões de unidades para entregar D_{AB} em \mathrm{cm^2/s} quando T está em \mathrm{K}, P em \mathrm{atm}, \sigma em \text{\AA} e M em \mathrm{g/mol}.
Observação didática: essa fórmula é uma versão prática da expressão da teoria cinética (Chapman–Enskog). Ela captura a dependência típica de T^{3/2} (gases mais rápidos à medida que a temperatura aumenta), inversa com P (mais colisões em pressão maior reduzem a difusão) e inversa com a área de seção transversal de colisão \pi\sigma^2 (maior σ → mais colisões → menor difusão). A integral \Omega_D corrige diferenças finas devido a forças de atração/repulsão além do choque duro.

Passo 4

Preparar e calcular cada termo numérico (conversões e cálculo passo a passo).
  1. Converter T para kelvin:
T = 25^\circ\text{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular T^{3/2}:
T^{3/2} = 298{,}15^{3/2} = 298{,}15\sqrt{298{,}15} \approx 5148{,}6.
  1. Calcular o fator de massa:
\sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}} =\sqrt{\dfrac{1}{78{,}11}+\dfrac{1}{29}} =\sqrt{0{,}012804+0{,}034483} =\sqrt{0{,}047287} \approx 0{,}21754.
  1. Calcular \sigma_{AB}^2 com \sigma=1{,}72\\ \text{\AA}:
\sigma_{AB}^2 = (1{,}72)^2 = 2{,}9584\\ (\text{\AA}^2).
  1. Tomar \Omega_D \approx 1{,}0 (aproximação para estimativa).

Passo 5

Inserir números na fórmula e calcular D_{AB}.
D_{AB} \;=\; \frac{0{,}001858\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{AB}^2\;\Omega_D}\;\sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}}
Agora substituindo os valores:
D_{AB} \;=\; \frac{0{,}001858 \times 5148{,}6}{1 \times 2{,}9584 \times 1{,}0} \times 0{,}21754.
Primeiro o numerador constante:
0{,}001858 \times 5148{,}6 \approx 9{,}565.
Dividindo pelo denominador 2{,}9584:
\frac{9{,}565}{2{,}9584} \approx 3{,}233.
Multiplicando pela raiz das massas:
D_{AB} \approx 3{,}233 \times 0{,}21754 \approx 0{,}7032\\ \mathrm{cm^2/s}.
Portanto a estimativa é D_{AB,\text{est}}\approx 0{,}703\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 6

Cálculo do erro percentual entre estimado e experimental.
Fórmula do erro percentual (valor absoluto relativo):
\text{Erro \%} = \left|\dfrac{D_{AB,\text{est}}-D_{AB,\exp}}{D_{AB,\exp}}\right|\times 100\%.
Substituindo números:
\text{Erro \%} = \left|\dfrac{0{,}7032-0{,}088}{0{,}088}\right|\times100\% = \dfrac{0{,}6152}{0{,}088}\times100\% \approx 698{,}9\%\approx 699\%.

Passo 7

Comentário físico e interpretação do erro (por que ocorreu e se é aceitável).
  • O erro encontrado é extremamente grande (≈699%). Isso, em princípio, NÃO é aceitável para uma correlação empírica/teórica utilizada em engenharia: correlações práticas costumam ter erros típicos da ordem de algumas dezenas de porcento (por exemplo ~10–30%) se aplicadas corretamente. Então aqui o desvio é muito além do esperado.
  • Possíveis causas físicas e numéricas do grande desvio:
    1. Valor de \sigma insuficiente: o diâmetro efetivo de colisão real entre benzeno e componentes do ar é certamente maior que 1{,}72\\ \text{\AA}. Um \sigma muito pequeno reduz artificialmente a área de colisão ( \propto\sigma^2) e aumenta muito D_{AB}. Em outras palavras: usar \sigma muito pequeno superestima a difusividade.
    2. Integral de colisão \Omega_D: usei \Omega_D\approx1. Na prática \Omega_D para pares reais à temperatura ambiente pode ser >1; isso também reduziria D_{AB} se contabilizado corretamente.
    3. Modelo idealizado: Chapman–Enskog assume interações tipo Lennard-Jones e depende de parâmetros específicos ( \epsilon/k, \sigma) de cada espécie; usar um valor único de \sigma para todos é grosseiro.
    4. Correlações empíricas como Fuller (quando usadas com volumes de difusão corretos) normalmente dão resultados melhores para mistura orgânico-ar; a diferença indica que o dado de \sigma fornecido é inadequado ou que a forma da correlação foi usada com aproximações grosseiras.
  • Conclusão física: o erro alto indica que a estimativa numérica feita com os dados e aproximações dadas (principalmente \sigma=1{,}72\\ \text{\AA} e \Omega_D=1) não é confiável. Para obter uma estimativa aceitável seria necessário usar parâmetros de colisão apropriados (valores \sigma e \epsilon/k para benzeno e ar), calcular a integral de colisão \Omega_D adequada à temperatura, ou então usar uma correlação empírica prática (por ex. Fuller–Giddings) com volumes de difusão corretos para benzeno e para ar.

Resposta

\displaystyle D_{AB,\text{est}} \approx 0{,}703\\ \mathrm{cm^2/s}
\displaystyle \text{Erro percentual} \approx 699\%
Não aceitável; erro muito grande (causado por \sigma muito pequeno e aproximações grosseiras na integral de colisão/ modelo).

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