Exemplo 4 Estime o coeficiente de difusão do benzeno no ar, em
, assumindo comportamento de gás ideal e utilizando uma correlação empírica para difusão gasosa.
Considere que o diâmetro molecular efetivo permanece constante e igual a
.
Compare o valor estimado com o coeficiente de difusão experimental
fornecido.
Dados:
Temperatura:
Massa molar do benzeno:
Massa molar do ar:
Constante universal dos gases: R=82,05 atm.cm
g.mol.K
Volume molar normal:
Pressão total:
Coeficiente de difusão experimental:
Pede-se:
a) Estimar o coeficiente de difusão do benzeno no ar,
.
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e o valor experimental.
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.
Massa molar do benzeno:
Massa molar do ar:
Constante universal dos gases: R=82,05 atm.cm
Volume molar normal:
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e o valor experimental.
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram retirados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Temperatura:
. - Massa molar do benzeno:
. - Massa molar do ar:
. - Constante dos gases (unidade dada):
. - Densidade do ar (massa por volume):
(dado, não usado diretamente na correlação escolhida). - Pressão total:
. - Diâmetro molecular efetivo (dados do enunciado):
. - Coeficiente de difusão experimental:
.
O que se pede:
a) Estimar o coeficiente de difusão do benzeno no ar em
.
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e .
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.
a) Estimar o coeficiente de difusão do benzeno no ar
b) Calcular o erro percentual entre o valor estimado e
c) Comentar, do ponto de vista físico, se o erro encontrado é aceitável para correlações empíricas de difusão gasosa.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem fórmulas ainda).
- O enunciado pede estimativa a partir de uma correlação empírica/teórica e fornece explicitamente um diâmetro molecular efetivo
. Esse dado é típico de correlações baseadas na teoria cinética (Chapman–Enskog), que relacionam com temperatura, pressão, massas molares e um diâmetro de colisão. - Vou usar a forma prática da equação de Chapman–Enskog (uma correlação derivada da teoria dos gases) que é amplamente usada para estimativas de difusão binária em gases e que aceita
como entrada. É uma escolha natural aqui porque o enunciado forneceu .
Passo 3
Apresentação da fórmula a ser usada e explicação didática de cada termo.
A forma prática utilizada (unidades convencionais de engenharia) é:
A forma prática utilizada (unidades convencionais de engenharia) é:
Explicando cada símbolo (muito importante):
-
é o coeficiente de difusão binária entre espécies (benzeno) e (ar), em . -
é a temperatura absoluta em kelvin ( ). -
é a pressão em atmosferas ( ). -
é o diâmetro efetivo de colisão entre e , em (ångström) nesta forma prática. O enunciado deu ; usaremos esse valor. -
é a integral de colisão (collision integral) adimensional que corrige o efeito das forças intermoleculares na difusão; depende de e do potencial intermolecular (Lennard-Jones). Para uma estimativa grosseira tomaremos . Em aplicações mais precisas é obtida de tabelas em função de . -
e são as massas molares (em ) de (benzeno) e (ar). A raiz quadrada no final vem da combinação das massas reduzidas que aparece na teoria cinética. - O fator numérico
é uma constante resultante da combinação de constantes físicas e conversões de unidades para entregar em quando está em , em , em e em .
Observação didática: essa fórmula é uma versão prática da expressão da teoria cinética (Chapman–Enskog). Ela captura a dependência típica de
(gases mais rápidos à medida que a temperatura aumenta), inversa com
(mais colisões em pressão maior reduzem a difusão) e inversa com a área de seção transversal de colisão
(maior σ → mais colisões → menor difusão). A integral
corrige diferenças finas devido a forças de atração/repulsão além do choque duro.
Passo 4
Preparar e calcular cada termo numérico (conversões e cálculo passo a passo).
- Converter
para kelvin:
- Calcular
:
- Calcular o fator de massa:
- Calcular
com :
- Tomar
(aproximação para estimativa).
Passo 5
Inserir números na fórmula e calcular
.
Agora substituindo os valores:
Primeiro o numerador constante:
Dividindo pelo denominador
:
Multiplicando pela raiz das massas:
Portanto a estimativa é
.
Passo 6
Cálculo do erro percentual entre estimado e experimental.
Fórmula do erro percentual (valor absoluto relativo):
Substituindo números:
Passo 7
Comentário físico e interpretação do erro (por que ocorreu e se é aceitável).
- O erro encontrado é extremamente grande (≈699%). Isso, em princípio, NÃO é aceitável para uma correlação empírica/teórica utilizada em engenharia: correlações práticas costumam ter erros típicos da ordem de algumas dezenas de porcento (por exemplo ~10–30%) se aplicadas corretamente. Então aqui o desvio é muito além do esperado.
- Possíveis causas físicas e numéricas do grande desvio:
- Valor de
insuficiente: o diâmetro efetivo de colisão real entre benzeno e componentes do ar é certamente maior que . Um muito pequeno reduz artificialmente a área de colisão ( ) e aumenta muito . Em outras palavras: usar muito pequeno superestima a difusividade. - Integral de colisão
: usei . Na prática para pares reais à temperatura ambiente pode ser >1; isso também reduziria se contabilizado corretamente. - Modelo idealizado: Chapman–Enskog assume interações tipo Lennard-Jones e depende de parâmetros específicos (
, ) de cada espécie; usar um valor único de para todos é grosseiro. - Correlações empíricas como Fuller (quando usadas com volumes de difusão corretos) normalmente dão resultados melhores para mistura orgânico-ar; a diferença indica que o dado de
fornecido é inadequado ou que a forma da correlação foi usada com aproximações grosseiras.
- Valor de
- Conclusão física: o erro alto indica que a estimativa numérica feita com os dados e aproximações dadas (principalmente
e ) não é confiável. Para obter uma estimativa aceitável seria necessário usar parâmetros de colisão apropriados (valores e para benzeno e ar), calcular a integral de colisão adequada à temperatura, ou então usar uma correlação empírica prática (por ex. Fuller–Giddings) com volumes de difusão corretos para benzeno e para ar.
Resposta
Não aceitável; erro muito grande (causado por