Exemplo 2 Um gás amônia (
) difunde através de uma película estagnada de ar seco com espessura de 2 mm , mantida a 1 atm e
. Essa película gasosa está localizada em um capilar contendo uma solução aquosa de ácido clorídrico, onde o
é instantaneamente absorvido e reagido ao atingir a interface gás-líquido. Na boca do capilar, a fração molar de
é igual a
em mols.
Considere que:
- O ar é não difusivo (B estagnado);
- O coeficiente de difusão do
no ar, nas condições do problema, é
Pede-se:
a) Determine a distribuição da fração molar de
ao longo da película gasosa.
b) Calcule o fluxo molar de
em regime permanente através da película.
b) Calcule o fluxo molar de
Passo 1
O enunciado dá um filme gasoso (película) de ar estagnado e espessura
. A amônia (
, chamarei de espécie
) difunde através desse filme em direção à interface gás–líquido, onde é instantaneamente absorvida (portanto a fração molar em
vale zero). Na boca do capilar (
) a fração molar de
é
. A temperatura e pressão são
e
. O coeficiente de difusão dado é
Também é informado que o ar (espécie
) é não difusivo (estagnado), isto é,
.
O que se pede:
a) a distribuição da fração molar ao longo da película (
);
b) o fluxo molar estacionário de através da película (
, em
).
O que se pede:
a) a distribuição da fração molar
b) o fluxo molar estacionário de
Passo 2
Definições e suposições úteis (explicando o que cada coisa significa):
-
é a coordenada normal à película, com na boca do capilar e na interface gás–líquido. -
é a fração molar de em . -
é o fluxo molar de (unidade ), positivo no sentido crescente. -
é a concentração molar total do gás ( ). Para gás ideal, com e constantes,
onde
é a constante dos gases. Vou calcular
porque isso entra nas fórmulas:
Faço as contas (mostrando passo a passo):
Obs.: assumimos
e
constantes pela película, logo
constante.
Passo 3
Linguagem física e equação básica. Vou explicar a ideia por trás da equação de transporte que vou usar, sem pular passos:
- A lei de Fick, na forma molar relativa ao referencial do fluxo médio, diz que o fluxo difusivo molar relativo é proporcional ao gradiente de fração molar:
- Se houver transporte convectivo do conjunto, o fluxo observado de
no referencial fixo é a soma do fluxo difusivo (relativo ao referencial médio) mais a fração convectiva:
onde
é o fluxo molar total do mistura.
- Como o enunciado diz que o ar (espécie
) é estagnado, temos . Então .
Substituindo,
Agora isolamos
. Passando
para o outro lado:
Esta é a equação diferencial que relaciona o gradiente de
com o fluxo constante
em regime permanente. Vou repetir em palavras: a presença do termo
vem da combinação da difusão com o fato de que não há fluxo de
— essa é a correção convectiva habitual.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial obtida. Reescrevo a equação para separar variáveis:
Integrando de
(onde
) até
(onde
):
A integral no lado esquerdo dá
Portanto
Isolando
,
e portanto
Finalmente
Observe que essa expressão contém ainda a constante desconhecida
. Vamos encontrá-la usando a condição na interface.
Passo 5
Condição na interface e cálculo de
. A condição de absorção instantânea implica
. Substituindo
na fórmula anterior:
Isolando a exponencial:
Tomando logaritmo:
e por fim
Esta é a expressão analítica do fluxo molar de
quando
é estagnado e
é absorvido na interface.
Passo 6
Substituo os números para obter o valor numérico de
. Já calculei
. Logo
A razão logarítmica é
Multiplicando:
(Arredondando,
.)
Passo 7
Agora volto à expressão da distribuição
e substituo
(ou uso a forma que elimina
explicitamente). Uma forma útil, sem depender de
, obtida ao combinar as equações é
e, usando
, obtém-se a forma compacta
Portanto a distribuição fica
Substituindo
e
, uma forma numérica direta é
Como checagem rápida: em
temos
e em
temos
, conforme exigido.
Resposta
(a)
(b)