Exemplo 2 Um gás amônia ( \mathrm{NH}_{3} ) difunde através de uma película estagnada de ar seco com espessura de 2 mm , mantida a 1 atm e 30^{\circ} \mathrm{C}. Essa película gasosa está localizada em um capilar contendo uma solução aquosa de ácido clorídrico, onde o \mathrm{NH}_{3} é instantaneamente absorvido e reagido ao atingir a interface gás-líquido. Na boca do capilar, a fração molar de \mathrm{NH}_{3} é igual a 4 \% em mols.
Considere que:
  • O ar é não difusivo (B estagnado);
  • O coeficiente de difusão do \mathrm{NH}_{3} no ar, nas condições do problema, é
\mathrm{D}_{\mathrm{NH} 3-\mathrm{ar}}=2,3 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Pede-se:

a) Determine a distribuição da fração molar de \mathrm{NH}_{3} ao longo da película gasosa.
b) Calcule o fluxo molar de \mathrm{NH}_{3} em regime permanente através da película.

Passo 1

O enunciado dá um filme gasoso (película) de ar estagnado e espessura L=2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. A amônia ( \mathrm{NH}_3, chamarei de espécie A) difunde através desse filme em direção à interface gás–líquido, onde é instantaneamente absorvida (portanto a fração molar em x=L vale zero). Na boca do capilar ( x=0) a fração molar de \mathrm{NH}_3 é y_{A,0}=4\%=0,04. A temperatura e pressão são T=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. O coeficiente de difusão dado é
D_{A\!-\!B}=2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Também é informado que o ar (espécie B) é não difusivo (estagnado), isto é, N_B=0.
O que se pede:
a) a distribuição da fração molar y_A(x) ao longo da película ( 0\le x\le L);
b) o fluxo molar estacionário de \mathrm{NH}_3 através da película ( N_A, em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^2\mathrm{s}).

Passo 2

Definições e suposições úteis (explicando o que cada coisa significa):
  • x é a coordenada normal à película, com x=0 na boca do capilar e x=L na interface gás–líquido.
  • y_A(x) é a fração molar de \mathrm{NH}_3 em x.
  • N_A é o fluxo molar de \mathrm{NH}_3 (unidade \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}), positivo no sentido x crescente.
  • c é a concentração molar total do gás ( \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3). Para gás ideal, com P e T constantes,
c=\frac{P}{R\,T},
onde R=8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a constante dos gases. Vou calcular c porque isso entra nas fórmulas:
c=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}3145\cdot303{,}15}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Faço as contas (mostrando passo a passo):
R\,T=8{,}3145\cdot303{,}15\approx2521{,}17,
c\approx\frac{1{,}01325\times10^{5}}{2521{,}17}\approx40{,}17\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Obs.: assumimos P e T constantes pela película, logo c constante.

Passo 3

Linguagem física e equação básica. Vou explicar a ideia por trás da equação de transporte que vou usar, sem pular passos:
  • A lei de Fick, na forma molar relativa ao referencial do fluxo médio, diz que o fluxo difusivo molar relativo é proporcional ao gradiente de fração molar:
N_{A,\text{dif}}^{\text{(médio)}} = -D_{A\!-\!B}\,c\,\frac{d y_A}{dx}.é
  • Se houver transporte convectivo do conjunto, o fluxo observado de A no referencial fixo é a soma do fluxo difusivo (relativo ao referencial médio) mais a fração convectiva:
N_A = N_{A,\text{dif}}^{\text{(médio)}} + y_A\,N_{\text{tot}},é
onde N_{\text{tot}}=N_A+N_B é o fluxo molar total do mistura.
  • Como o enunciado diz que o ar (espécie B) é estagnado, temos N_B=0. Então N_{\text{tot}}=N_A.
    Substituindo,
N_A = -D_{A\!-\!B}\,c\,\frac{d y_A}{dx} + y_A\,N_A.
Agora isolamos N_A. Passando y_A N_A para o outro lado:
N_A(1-y_A) = -D_{A\!-\!B}\,c\,\frac{d y_A}{dx}.
Esta é a equação diferencial que relaciona o gradiente de y_A com o fluxo constante N_A em regime permanente. Vou repetir em palavras: a presença do termo 1-y_A vem da combinação da difusão com o fato de que não há fluxo de B — essa é a correção convectiva habitual.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial obtida. Reescrevo a equação para separar variáveis:
\frac{d y_A}{1-y_A} = -\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,dx.
Integrando de x=0 (onde y_A=y_{A,0}) até x (onde y_A=y_A(x)):
\int_{y_{A,0}}^{y_A(x)}\frac{d y}{1-y} = -\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\int_{0}^{x} dx.
A integral no lado esquerdo dá
\left[-\ln(1-y)\right]_{y_{A,0}}^{y_A(x)}=\ln\!\left(\frac{1-y_{A,0}}{1-y_A(x)}\right).
Portanto
\ln\!\left(\frac{1-y_{A,0}}{1-y_A(x)}\right) = -\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,x.
Isolando y_A(x),
\frac{1-y_{A,0}}{1-y_A(x)}=\exp\!\left(-\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,x\right)
e portanto
1-y_A(x)=(1-y_{A,0})\exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,x\right).
Finalmente
y_A(x)=1-(1-y_{A,0})\exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,x\right).
Observe que essa expressão contém ainda a constante desconhecida N_A. Vamos encontrá-la usando a condição na interface.

Passo 5

Condição na interface e cálculo de N_A. A condição de absorção instantânea implica y_A(L)=0. Substituindo x=L na fórmula anterior:
0 = 1-(1-y_{A,0})\exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,L\right).
Isolando a exponencial:
(1-y_{A,0})\exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,L\right)=1 \quad\Rightarrow\quad \exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,L\right)=\frac{1}{1-y_{A,0}}.
Tomando logaritmo:
\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,L=\ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,0}}\right)
e por fim
N_A=\frac{D_{A\!-\!B}\,c}{L}\,\ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,0}}\right).
Esta é a expressão analítica do fluxo molar de A quando B é estagnado e A é absorvido na interface.

Passo 6

Substituo os números para obter o valor numérico de N_A. Já calculei c\approx40{,}17\\ \mathrm{mol/m^{3}}. Logo
\frac{D_{A\!-\!B}\,c}{L}=\frac{2{,}3\times10^{-5}\cdot40{,}17}{2\times10^{-3}} =0{,}0115\cdot40{,}17\approx0{,}4620\\ \mathrm{mol/(m^{2}\,s)}.
A razão logarítmica é
\ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,0}}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{1-0{,}04}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{0{,}96}\right)\approx0{,}04082.
Multiplicando:
N_A\approx0{,}4620\times0{,}04082\approx0{,}01886\\ \mathrm{mol/(m^{2}\,s)}.
(Arredondando, N_A\approx1{,}89\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.)

Passo 7

Agora volto à expressão da distribuição y_A(x) e substituo N_A (ou uso a forma que elimina N_A explicitamente). Uma forma útil, sem depender de N_A, obtida ao combinar as equações é
1-y_A(x)=(1-y_{A,0})\exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,x\right)
e, usando \exp\!\left(\frac{N_A}{D_{A\!-\!B}\,c}\,L\right)=\dfrac{1}{1-y_{A,0}}, obtém-se a forma compacta
1-y_A(x)=(1-y_{A,0})^{\,1-\frac{x}{L}}.
Portanto a distribuição fica
y_A(x)=1-(1-y_{A,0})^{\,1-\frac{x}{L}}.
Substituindo y_{A,0}=0{,}04 e L=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, uma forma numérica direta é
y_A(x)=1-0{,}96^{\,1-\frac{x}{2\times10^{-3}}}.
Como checagem rápida: em x=0 temos y_A(0)=1-0{,}96^{1}=0{,}04 e em x=L temos y_A(L)=1-0{,}96^{0}=0, conforme exigido.

Resposta

(a) y_A(x)=1-(1-y_{A,0})^{\,1-\frac{x}{L}}=1-0{,}96^{\,1-\frac{x}{2\times10^{-3}}}.
(b) N_A=\dfrac{D_{A\!-\!B}\,c}{L}\,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,0}}\right)\approx0{,}0189\\ \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}.

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