Exemplo 1 Obtenha a distribuição da fração molar do dióxido de carbono (
) que difunde em uma película estagnada de ar seco de 1 cm de profundidade a 1 atm e
. Essa película está num capilar, o qual contém ácido sulfúrico.
é absorvido instantaneamente ao atingir o líquido. A concentração do
na boca do capilar é
em mols e no fundo do capilar concentração do CO 2 é
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Espessura da película:
. - Pressão total:
(usada se for necessário converter concentrações). - Temperatura:
. - Fração molar de
na boca do capilar (em ): . - Fração molar de
no fundo do capilar (em ): .
O que se pede: obter a distribuição da fração molar
do
através da película estagnada de espessura
(ou seja, uma expressão que dê
em função da posição
, com
).
Passo 2
Princípios físicos e hipóteses que vamos usar (explicadinho passo a passo):
- Em regime estacionário (estado permanente) a difusão molar de uma espécie
numa mistura binária pode ser descrita pela primeira lei de Fick:
onde:
-
é o fluxo molar de (em ), positivo no sentido de ; -
é o coeficiente de difusão do (espécie ) no ar (espécie ); -
é a concentração molar de (em ); -
é a coordenada espacial através da película. -
Relação entre concentração molar e fração molar para gás ideal:
onde
é a concentração total (assumida constante ao longo da película porque
e
são constantes). Aqui
é a fração molar de
.
- Substituindo
na lei de Fick:
- Em regime estacionário e com
e aproximadamente constantes, é independente de . Então é constante e a solução para será uma função linear de . Essas hipóteses são padrão para uma película estagnada fina e para uma primeira aproximação didática.
Passo 3
Integração e expressão geral da distribuição:
- Da equação
podemos isolar
:
- Integrando com respeito a
e usando como constante de integração:
Esta é a forma geral: uma reta com inclinação
.
Passo 4
Determinar a constante (resolver com as condições de contorno dadas):
- Usando a condição em
:
- Isolando
:
Observação didática: mesmo não conhecendo o valor numérico de
, podemos eliminar
ao substituir essa expressão de volta em
, por isso a forma da distribuição não requer
.
Passo 5
Obter a expressão explícita de
(a parte que você vai usar na prova):
- Substituindo
em obtemos
Esta é a expressão limpa e independente de
: uma interpolação linear entre os valores de contorno.
-
Agora substituir os valores numéricos dados:
-
, -
, -
.
-
-
Calculando a inclinação:
- Logo a distribuição é
onde
está em metros e
.
- Alternativamente, se preferir trabalhar com
em centímetros ( em cm, com ):
Passo 6
Checagens rápidas e interpretação (para você ganhar confiança na prova):
- Em
: (boca do capilar), OK. - Em
: (fundo), OK. - No meio da película,
:
Pequeno incentivo: essa é uma questão clássica — identificar que, em regime estacionário com difusão em película e condições de contorno fixas, a fração molar varia linearmente. Você já entendeu o raciocínio e tem a fórmula pronta para usar em prova.