Exemplo 1 Obtenha a distribuição da fração molar do dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) que difunde em uma película estagnada de ar seco de 1 cm de profundidade a 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}. Essa película está num capilar, o qual contém ácido sulfúrico. \mathrm{O} \mathrm{CO}_{2} é absorvido instantaneamente ao atingir o líquido. A concentração do \mathrm{CO}_{2} na boca do capilar é 2,5 \% em mols e no fundo do capilar concentração do CO 2 é 0.6 \%

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Espessura da película: L = 1\\ \text{cm} = 0,01\\ \text{m}.
  • Pressão total: P = 1\\ \text{atm} (usada se for necessário converter concentrações).
  • Temperatura: T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \text{K}.
  • Fração molar de \mathrm{CO_2} na boca do capilar (em x=0): y_A(0) = 2{,}5\% = 0{,}025.
  • Fração molar de \mathrm{CO_2} no fundo do capilar (em x=L): y_A(L) = 0{,}6\% = 0{,}006.
O que se pede: obter a distribuição da fração molar \,y_A(x)\, do \mathrm{CO_2} através da película estagnada de espessura L (ou seja, uma expressão que dê y_A em função da posição x, com 0\le x\le L).

Passo 2

Princípios físicos e hipóteses que vamos usar (explicadinho passo a passo):
  • Em regime estacionário (estado permanente) a difusão molar de uma espécie A numa mistura binária pode ser descrita pela primeira lei de Fick:
N_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx},
onde:
  • N_A é o fluxo molar de A (em \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}), positivo no sentido de +x;
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão do \mathrm{CO_2} (espécie A) no ar (espécie B);
  • C_A é a concentração molar de A (em \mathrm{mol/m^3});
  • x é a coordenada espacial através da película.
  • Relação entre concentração molar e fração molar para gás ideal:
C_A = C_\text{tot}\,y_A,
onde C_\text{tot}= \dfrac{P}{R T} é a concentração total (assumida constante ao longo da película porque P e T são constantes). Aqui y_A é a fração molar de \mathrm{CO_2}.
  • Substituindo C_A na lei de Fick:
N_A = -D_{AB}\,C_\text{tot}\,\frac{dy_A}{dx}.
  • Em regime estacionário e com D_{AB} e C_\text{tot} aproximadamente constantes, N_A é independente de x. Então \dfrac{dy_A}{dx} é constante e a solução para y_A(x) será uma função linear de x. Essas hipóteses são padrão para uma película estagnada fina e para uma primeira aproximação didática.

Passo 3

Integração e expressão geral da distribuição:
  • Da equação
N_A = -D_{AB}\,C_\text{tot}\,\frac{dy_A}{dx}
podemos isolar \dfrac{dy_A}{dx}:
\frac{dy_A}{dx} = -\frac{N_A}{D_{AB}\,C_\text{tot}}.
  • Integrando com respeito a x e usando y_A(0) como constante de integração:
y_A(x) = y_A(0) - \frac{N_A}{D_{AB}\,C_\text{tot}}\,x.
Esta é a forma geral: uma reta com inclinação -\dfrac{N_A}{D_{AB}C_\text{tot}}.

Passo 4

Determinar a constante (resolver com as condições de contorno dadas):
  • Usando a condição em x=L:
y_A(L) = y_A(0) - \frac{N_A}{D_{AB}\,C_\text{tot}}\,L.
  • Isolando N_A:
N_A = D_{AB}\,C_\text{tot}\,\frac{y_A(0)-y_A(L)}{L}.
Observação didática: mesmo não conhecendo o valor numérico de D_{AB}, podemos eliminar N_A ao substituir essa expressão de volta em y_A(x), por isso a forma da distribuição não requer D_{AB}.

Passo 5

Obter a expressão explícita de y_A(x) (a parte que você vai usar na prova):
  • Substituindo N_A em y_A(x) obtemos
y_A(x)=y_A(0)-\frac{y_A(0)-y_A(L)}{L}\,x.
Esta é a expressão limpa e independente de D_{AB}: uma interpolação linear entre os valores de contorno.
  • Agora substituir os valores numéricos dados:
    • y_A(0)=0{,}025,
    • y_A(L)=0{,}006,
    • L=0{,}01\\ \text{m}.
  • Calculando a inclinação:
\frac{y_A(0)-y_A(L)}{L}=\frac{0{,}025-0{,}006}{0{,}01}=\frac{0{,}019}{0{,}01}=1{,}9\\ \text{m}^{-1}.
  • Logo a distribuição é
y_A(x)=0{,}025 - 1{,}9\,x,
onde x está em metros e 0\le x\le 0{,}01\\ \text{m}.
  • Alternativamente, se preferir trabalhar com x em centímetros ( x_\text{cm} em cm, com 0\le x_\text{cm}\le 1):
y_A(x_\text{cm}) = 0{,}025 - 0{,}019\,x_\text{cm}.

Passo 6

Checagens rápidas e interpretação (para você ganhar confiança na prova):
  • Em x=0: y_A(0)=0{,}025 (boca do capilar), OK.
  • Em x=0{,}01\\ \text{m}: y_A(0{,}01)=0{,}025-1{,}9\cdot0{,}01=0{,}006 (fundo), OK.
  • No meio da película, x=0{,}005\\ \text{m}:
y_A(0{,}005)=0{,}025-1{,}9\cdot0{,}005=0{,}0155\quad\text{(ou }1{,}55\%\text{)}.
Pequeno incentivo: essa é uma questão clássica — identificar que, em regime estacionário com difusão em película e condições de contorno fixas, a fração molar varia linearmente. Você já entendeu o raciocínio e tem a fórmula pronta para usar em prova.

Resposta

y_A(x)=0{,}025 - 1{,}9\,x\quad\text{(com \(x\) em metros, \(0\le x\le 0{,}01\))}
\text{(equivalentemente) } \; y_A(x_\text{cm})=0{,}025 - 0{,}019\,x_\text{cm}\quad\text{(com \(x_\text{cm}\) em cm, \(0\le x_\text{cm}\le 1\))}

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