Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Q(3,0,5)

Passo 1

O enunciado pede: expressar o ponto Q(3,0,5) (dados em coordenadas cartesianas (x,y,z)) nas coordenadas cilíndricas e nas coordenadas esféricas.
Informações dadas: x=3, y=0, z=5.
O que precisamos devolver: as tuplas (r,\theta,z) para coordenadas cilíndricas e (\rho,\theta,\varphi) para coordenadas esféricas (vou explicitar a convenção usada nos passos seguintes).

Passo 2

Definição e convenção para coordenadas cilíndricas (explicação didática):
  • Em coordenadas cilíndricas temos três componentes (r,\theta,z).
  • r é a distância do ponto à origem projetado no plano xy, isto é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário; para calcular \theta usamos a função \operatorname{atan2}(y,x) que dá o ângulo correto levando em conta sinais de x e y.
  • z é exatamente o mesmo z das coordenadas cartesianas.
    Essas relações vêm da ligação geométrica: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.

Passo 3

Cálculo das coordenadas cilíndricas para Q(3,0,5):
Calcule r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3.
Calcule \theta: como y=0 e x=3>0,
\theta=\operatorname{atan2}(0,3)=0.
O valor de z permanece z=5.
Portanto, em coordenadas cilíndricas:
(r,\theta,z)=(3,0,5).

Passo 4

Definição e convenção para coordenadas esféricas (explicação didática):
Vou usar a convenção padrão em muitos cursos: as coordenadas esféricas são (\rho,\theta,\varphi) onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), \rho\ge 0.
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do plano xy (medido a partir do eixo x positivo).
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi\in[0,\pi]).
    As relações entre as coordenadas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
As fórmulas inversas úteis são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),\qquad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Outra forma prática para \varphi (quando z>0) é \varphi=\arctan\!\left(\frac{r}{z}\right) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, pois \tan\varphi=\dfrac{r}{z}.

Passo 5

Cálculo das coordenadas esféricas para Q(3,0,5):
Calcule \rho:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3^{2}+0^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Calcule \theta: já vimos que \theta=\operatorname{atan2}(0,3)=0.
Calcule \varphi: usando \tan\varphi=\dfrac{r}{z}=\dfrac{3}{5} (visto que r=3 e z=5), temos
\varphi=\arctan\!\left(\frac{3}{5}\right).
Alternativamente, usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right),
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{5}{\sqrt{34}}\right),
que é equivalente à expressão com \arctan. Portanto, em coordenadas esféricas (na convenção adotada):
(\rho,\theta,\varphi)=\left(\sqrt{34},\,0,\,\arctan\!\left(\frac{3}{5}\right)\right).

Resposta

(r,\theta,z)=(3,0,5)
(\rho,\theta,\varphi)=\left(\sqrt{34},\,0,\,\arctan\!\left(\frac{3}{5}\right)\right)

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