Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
O enunciado pede: expressar o ponto
(dados em coordenadas cartesianas
) nas coordenadas cilíndricas e nas coordenadas esféricas.
Informações dadas: ,
,
.
O que precisamos devolver: as tuplas para coordenadas cilíndricas e
para coordenadas esféricas (vou explicitar a convenção usada nos passos seguintes).
Informações dadas:
O que precisamos devolver: as tuplas
Passo 2
Definição e convenção para coordenadas cilíndricas (explicação didática):
- Em coordenadas cilíndricas temos três componentes
. -
é a distância do ponto à origem projetado no plano , isto é . -
é o ângulo no plano medido a partir do eixo positivo, no sentido anti-horário; para calcular usamos a função que dá o ângulo correto levando em conta sinais de e . -
é exatamente o mesmo das coordenadas cartesianas.
Essas relações vêm da ligação geométrica:, , .
Passo 3
Cálculo das coordenadas cilíndricas para
:
Calcule :
Calcule
Calcule
: como
e
,
O valor de
permanece
.
Portanto, em coordenadas cilíndricas:
Portanto, em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Definição e convenção para coordenadas esféricas (explicação didática):
Vou usar a convenção padrão em muitos cursos: as coordenadas esféricas são onde
Vou usar a convenção padrão em muitos cursos: as coordenadas esféricas são
-
é a distância do ponto à origem (raio), . -
é o mesmo ângulo azimutal do plano (medido a partir do eixo positivo). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, ).
As relações entre as coordenadas são:
As fórmulas inversas úteis são:
Outra forma prática para
(quando
) é
com
, pois
.
Passo 5
Cálculo das coordenadas esféricas para
:
Calcule :
Calcule
Calcule
: já vimos que
.
Calcule : usando
(visto que
e
), temos
Calcule
Alternativamente, usando
,
que é equivalente à expressão com
. Portanto, em coordenadas esféricas (na convenção adotada):