Um economista interessado em estudar a relação entre o valor da renda familiar extra ( X ) ou disponível para gastos extras (chamada de disposable income na literatura em inglês) e o valor dos gastos com alimentação (Y) conduziu um estudo preliminar com 8 famílias, todas compostas por marido, esposa e dois filhos. Os resultados estão na tabela a seguir com valores X em milhares de dólares por ano e Y em centenas de dólares por ano.
X 30 36 27 20 16 24 19 25 \mathrm{SQD}_{X}=291,88 \bar{X}=24,63
Y 55 60 42 40 37 26 39 43 \mathrm{SQD}_{Y}=783,50 \bar{Y}=42,75
a) Ajuste a equação de regressão linear simples.
b) Interprete o valor do coeficiente da regressão ( \beta_{1} ) em termos do problema anunciado.
c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o valor calculado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) ajustar a equação de regressão linear simples entre a renda disponível X e os gastos com alimentação Y;
  • (b) interpretar o coeficiente angular \beta_{1} no contexto do problema;
  • (c) calcular o coeficiente de determinação e interpretar o resultado.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Número de observações: n=8.
  • Média de X: \bar{X}=24,63 (em milhares de dólares por ano).
  • Média de Y: \bar{Y}=42,75 (em centenas de dólares por ano).
  • Soma dos quadrados de X em torno da média: \mathrm{SQD}_{X}=\sum_{i}(X_i-\bar X)^2=291,88.
  • Soma dos quadrados de Y em torno da média: \mathrm{SQD}_{Y}=\sum_{i}(Y_i-\bar Y)^2=783,50.
  • Valores observados (pares (X_i,Y_i), com X em milhares e Y em centenas): \begin{array}{cccccccc} (30,55),&(36,60),&(27,42),&(20,40),&(16,37),&(24,26),&(19,39),&(25,43). \end{array}

Passo 2

Qual método usar e fórmulas principais (curta “aula” prática).
Para regressão linear simples pelo método dos mínimos quadrados, o modelo é
Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i + \varepsilon_i,
onde \beta_0 é o intercepto (valor esperado de Y quando X=0), \beta_1 é o coeficiente angular (variação esperada em Y ao aumentar X em uma unidade) e \varepsilon_i são erros com média zero.
As fórmulas que vamos usar:
\beta_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}, \qquad \beta_0 = \bar{Y} - \beta_1 \bar{X},
onde
S_{XX}=\sum_{i}(X_i-\bar X)^2, \qquad S_{XY}=\sum_{i}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).
O coeficiente de correlação amostral é
r=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}\,S_{YY}}},
com S_{YY}=\sum_{i}(Y_i-\bar Y)^2. O coeficiente de determinação é
R^2 = r^2 = \frac{(S_{XY})^2}{S_{XX}\,S_{YY}}.

Passo 3

Calcular os desvios X_i-\bar X e Y_i-\bar Y e os produtos para obter S_{XY}.
Vou calcular para cada observação (tudo mostrado com as contas):
Observações e cálculos (usei \bar X=24,63 e \bar Y=42,75):
  1. Para (30,55):
X_1-\bar X=30-24,63=5,37, \qquad Y_1-\bar Y=55-42,75=12,25,
(X_1-\bar X)(Y_1-\bar Y)=5,37\cdot12,25=65,7825.
  1. Para (36,60):
11,37,\qquad 17,25,\qquad 11,37\cdot17,25=196,1325.
  1. Para (27,42):
2,37,\qquad -0,75,\qquad 2,37\cdot(-0,75)=-1,7775.
  1. Para (20,40):
-4,63,\qquad -2,75,\qquad (-4,63)\cdot(-2,75)=12,7425.
  1. Para (16,37):
-8,63,\qquad -5,75,\qquad (-8,63)\cdot(-5,75)=49,6225.
  1. Para (24,26):
-0,63,\qquad -16,75,\qquad (-0,63)\cdot(-16,75)=10,5525.
  1. Para (19,39):
-5,63,\qquad -3,75,\qquad (-5,63)\cdot(-3,75)=21,1125.
  1. Para (25,43):
0,37,\qquad 0,25,\qquad 0,37\cdot0,25=0,0925.
Agora somo todos os produtos para obter S_{XY}:
S_{XY}=65,7825+196,1325-1,7775+12,7425+49,6225+10,5525+21,1125+0,0925=354,26.
Portanto, peguei S_{XY}=354,26.
Observação: o enunciado já deu S_{XX}=\mathrm{SQD}_X=291,88 e S_{YY}=\mathrm{SQD}_Y=783,50, então não precisei recomputar S_{XX} e S_{YY}.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular \beta_1 e o intercepto \beta_0 usando as fórmulas e interpretar as unidades.
Primeiro a fórmula do coeficiente angular:
\beta_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}=\frac{354,26}{291,88}\approx1,2136.
Agora o intercepto:
\beta_0=\bar{Y}-\beta_1\bar{X}=42,75-1,2136\cdot24,63\approx42,75-29,8885\approx12,8615.
Logo a reta ajustada (estimada) é
\widehat{Y}=\beta_0+\beta_1 X \approx 12,8615 + 1,2136\,X.
Unidades e interpretação prática (preparação para a resposta formal): como X está em milhares de dólares por ano e Y em centenas de dólares por ano, um aumento de 1 unidade em X significa um aumento de \$1000 na renda disponível anual; um aumento de 1 unidade em Y corresponde a \$100 nos gastos anuais com alimentação. Assim, \beta_1\approx1,2136 significa que, em média, um acréscimo de \$1000 na renda disponível está associado a um aumento de cerca de 1,2136 centenas de dólares nos gastos com alimentação, ou seja, aproximadamente \$121,36 por ano.

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação r e o coeficiente de determinação R^2 e interpretar.
Primeiro r:
r=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}\,S_{YY}}}=\frac{354,26}{\sqrt{291,88\cdot783,50}}.
Calculo do denominador:
291,88\cdot783,50 \approx 228\,687,98, \qquad \sqrt{228\,687,98}\approx478,213.
Portanto
r\approx\frac{354,26}{478,213}\approx0,7410.
O coeficiente de determinação é
R^2=r^2\approx(0,7410)^2\approx0,549.
Interpretação: R^2\approx0,549 significa que cerca de 54{,}9\% da variabilidade observada nos gastos com alimentação Y (entre as famílias amostradas) é explicada pela variabilidade na renda disponível X através deste modelo linear. O restante (cerca de 45{,}1\%) é explicado por outros factores não modelados (variáveis omitidas, erro amostral, etc.).

Passo 6

Comentário final e incentivo (rápido e motivador).
Pronto — ajustamos a reta, fizemos as contas passo a passo e interpretamos \beta_1 e R^2. Você já pode usar essa reta para prever a despesa com alimentação média de famílias parecidas a partir da renda disponível, lembrando que as previsões fora da faixa observada exigem cuidado. Bom trabalho — já deu um grande passo!

Resposta

(a) \displaystyle \widehat{Y}=12,8615 + 1,2136\,X.
(b) \beta_{1}\approx1,2136: um aumento de 1 em X (ou seja, \$1000 a mais na renda disponível) está associado, em média, a um aumento de 1,2136 centenas de dólares nos gastos com alimentação (ou seja, aproximadamente \$121,36 por ano).
(c) R^{2}\approx0,549 (aprox. 54{,}9\%): cerca de 54{,}9\% da variação dos gastos com alimentação é explicada pela variação da renda disponível segundo este modelo.

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