Um economista interessado em estudar a relação entre o valor da renda familiar extra (
) ou disponível para gastos extras (chamada de disposable income na literatura em inglês) e o valor dos gastos com alimentação
conduziu um estudo preliminar com 8 famílias, todas compostas por marido, esposa e dois filhos. Os resultados estão na tabela a seguir com valores
em milhares de dólares por ano e
em centenas de dólares por ano.
30
36
27
20
16
24
19
25
55
60
42
40
37
26
39
43
a) Ajuste a equação de regressão linear simples.
b) Interprete o valor do coeficiente da regressão (
) em termos do problema anunciado.
c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o valor calculado.
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30 | 36 | 27 | 20 | 16 | 24 | 19 | 25 |
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55 | 60 | 42 | 40 | 37 | 26 | 39 | 43 |
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b) Interprete o valor do coeficiente da regressão (
c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o valor calculado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) ajustar a equação de regressão linear simples entre a renda disponível
e os gastos com alimentação ; - (b) interpretar o coeficiente angular
no contexto do problema; - (c) calcular o coeficiente de determinação e interpretar o resultado.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Número de observações:
. - Média de
: (em milhares de dólares por ano). - Média de
: (em centenas de dólares por ano). - Soma dos quadrados de
em torno da média: . - Soma dos quadrados de
em torno da média: . - Valores observados (pares
, com em milhares e em centenas):
Passo 2
Qual método usar e fórmulas principais (curta “aula” prática).
Para regressão linear simples pelo método dos mínimos quadrados, o modelo é
Para regressão linear simples pelo método dos mínimos quadrados, o modelo é
onde
é o intercepto (valor esperado de
quando
),
é o coeficiente angular (variação esperada em
ao aumentar
em uma unidade) e
são erros com média zero.
As fórmulas que vamos usar:
onde
O coeficiente de correlação amostral é
com
. O coeficiente de determinação é
Passo 3
Calcular os desvios
e
e os produtos para obter
.
Vou calcular para cada observação (tudo mostrado com as contas):
Observações e cálculos (usei e
):
Vou calcular para cada observação (tudo mostrado com as contas):
Observações e cálculos (usei
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora somo todos os produtos para obter
:
Portanto, peguei
.
Observação: o enunciado já deu
e
, então não precisei recomputar
e
.
Passo 4
Calcular o coeficiente angular
e o intercepto
usando as fórmulas e interpretar as unidades.
Primeiro a fórmula do coeficiente angular:
Primeiro a fórmula do coeficiente angular:
Agora o intercepto:
Logo a reta ajustada (estimada) é
Unidades e interpretação prática (preparação para a resposta formal): como
está em milhares de dólares por ano e
em centenas de dólares por ano, um aumento de
unidade em
significa um aumento de
na renda disponível anual; um aumento de
unidade em
corresponde a
nos gastos anuais com alimentação. Assim,
significa que, em média, um acréscimo de
na renda disponível está associado a um aumento de cerca de
centenas de dólares nos gastos com alimentação, ou seja, aproximadamente
por ano.
Passo 5
Calcular o coeficiente de correlação
e o coeficiente de determinação
e interpretar.
Primeiro :
Primeiro
Calculo do denominador:
Portanto
O coeficiente de determinação é
Interpretação:
significa que cerca de
da variabilidade observada nos gastos com alimentação
(entre as famílias amostradas) é explicada pela variabilidade na renda disponível
através deste modelo linear. O restante (cerca de
) é explicado por outros factores não modelados (variáveis omitidas, erro amostral, etc.).
Passo 6
Comentário final e incentivo (rápido e motivador).
Pronto — ajustamos a reta, fizemos as contas passo a passo e interpretamos e
. Você já pode usar essa reta para prever a despesa com alimentação média de famílias parecidas a partir da renda disponível, lembrando que as previsões fora da faixa observada exigem cuidado. Bom trabalho — já deu um grande passo!
Pronto — ajustamos a reta, fizemos as contas passo a passo e interpretamos
Resposta
(a)
(b) : um aumento de
em
(ou seja,
a mais na renda disponível) está associado, em média, a um aumento de
centenas de dólares nos gastos com alimentação (ou seja, aproximadamente
por ano).
(c) (aprox.
): cerca de
da variação dos gastos com alimentação é explicada pela variação da renda disponível segundo este modelo.
(b)
(c)