(proposto por E.B., monitor em 2001). Pode-se determinar o teor de proteínas ( \mathrm{mg} / \mathrm{ml} ) no leite de uma forma indireta analisando-se a absorvância de luz, medida em um aparelho denominado fotocolorímetro. A absorvância consiste na fração da luz incidente que a amostra
é capaz de absorver. Por exemplo, uma absorvância de 0,70 indica que a solução absorveu 70 \% da luz incidente. Por razões históricas, este método é denominado Método do Biureto. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos em um teste com cinco amostras padrão, de concentração previamente conhecida.
Conc. (mg/ml) 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
Absorvância 0,12 0,31 0,49 0,64 0,77

Pede-se:

a) Ajuste a reta de regressão linear simples para estimar a absorvância ( Y ) em função da concentração de proteínas (X).
b) Interprete o valor da estimativa do coeficiente de regressão ( b_{1} ).
c) Para uma absorvância igual a 0,58 estime a concentração média de proteínas, em mg/ml (regressão inversa).
d) Pode-se utilizar o modelo ajustado em a) para se estimar Y quando X=8,00 ? explique.
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete.

Passo 1

O enunciado dá cinco pares de observações (X,Y), onde X é a concentração em \mathrm{mg/ml} e Y é a absorvância:
\begin{array}{cccccc} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] Y & 0{,}12 & 0{,}31 & 0{,}49 & 0{,}64 & 0{,}77 \end{array}
As perguntas são:
a) ajustar a reta de regressão simples para estimar Y em função de X;
b) interpretar o coeficiente de regressão estimado b_1;
c) para Y=0{,}58 estimar a concentração média X (regressão inversa);
d) pode-se usar o modelo para estimar Y quando X=8{,}00? Explique;
e) calcular o coeficiente de determinação e interpretar.]

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas básicas do ajuste por mínimos quadrados (modo didático e passo a passo).
  • Definições (para n pares (X_i,Y_i)):
    • Média de X: \displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
    • Média de Y: \displaystyle \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
    • Soma de quadrados de X: \displaystyle S_{XX}=\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2.
    • Soma cruzada: \displaystyle S_{XY}=\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y}).
  • Estimadores de mínimos quadrados para a reta \displaystyle \widehat{Y}=b_0+b_1 X: b_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad b_0=\overline{Y}-b_1\overline{X}.
Explicação curta: b_1 mede a inclinação — quanto \widehat{Y} muda quando X aumenta uma unidade. b_0 é o valor estimado de Y quando X=0 (nem sempre interpretável fisicamente, depende do contexto).

Passo 3

Calcular médias (mostrando soma):
\sum X_i = 1+2+3+4+5 = 15,\qquad n=5 \quad\Rightarrow\quad \overline{X}=\dfrac{15}{5}=3.
\sum Y_i = 0{,}12+0{,}31+0{,}49+0{,}64+0{,}77 = 2{,}33 \quad\Rightarrow\quad \overline{Y}=\dfrac{2{,}33}{5}=0{,}466.

Passo 4

Calcular S_{XX} e S_{XY}. Primeiro desvios (já calculados):
\begin{array}{c|ccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline X_i-\overline{X} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\\ Y_i-\overline{Y} & -0{,}346 & -0{,}156 & 0{,}024 & 0{,}174 & 0{,}304 \end{array}
Agora as somas:
S_{XX}=\sum (X_i-\overline{X})^2 = 4+1+0+1+4 = 10.
S_{XY}=\sum (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y}) = (-2)(-0{,}346)+(-1)(-0{,}156)+0\cdot0{,}024+1\cdot0{,}174+2\cdot0{,}304.
Cálculo numérico:
S_{XY}=0{,}692+0{,}156+0+0{,}174+0{,}608=1{,}63.

Passo 5

Calcular os coeficientes b_1 e b_0:
b_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}=\frac{1{,}63}{10}=0{,}163.
b_0=\overline{Y}-b_1\overline{X}=0{,}466-0{,}163\cdot 3=0{,}466-0{,}489=-0{,}023.

Passo 6

Escrever a equação ajustada e comentar como usar na prova:
\widehat{Y}=b_0+b_1 X = -0{,}023 + 0{,}163\,X.
Na prova, memorize a forma \widehat{Y}=b_0+b_1X e calcule b_1 por \dfrac{S_{XY}}{S_{XX}} e b_0 por \overline{Y}-b_1\overline{X}. Sempre mostre as somas e as médias como fizemos.

Passo 7

Interpretação do coeficiente b_1 (item b), de forma didática:
  • O valor b_1=0{,}163 significa que, segundo o ajuste linear, um acréscimo de 1 unidade em X (ou seja, 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} a mais de proteínas) aumenta a absorvância média estimada em 0{,}163 (ou 16{,}3\% de absorção adicional, lembrando que a absorvância é uma fração).
  • Em linguagem de prova: “para cada aumento de 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} na concentração, a absorvância média aumenta em aproximadamente 0{,}163 unidade.”

Passo 8

Regressão inversa (item c): estimar X quando Y=0{,}58.
  • Fazer a inversão algébrica da reta estimada:
\widehat{Y}=b_0+b_1 X \quad\Rightarrow\quad X=\frac{\widehat{Y}-b_0}{b_1}.
  • Substituindo \widehat{Y}=0{,}58, b_0=-0{,}023, b_1=0{,}163:
\widehat{X}=\frac{0{,}58-(-0{,}023)}{0{,}163}=\frac{0{,}603}{0{,}163}\approx 3{,}70\\ \mathrm{mg/ml}.
Observação didática: essa é a estimativa da concentração média correspondente a Y=0{,}58. Em provas pode ser pedido também o intervalo de confiança para essa estimativa — aí seria necessário o erro padrão inverso. Aqui pediram só a estimativa pontual.

Passo 9

Avaliação do uso do modelo para X=8{,}00 (item d):
  • Os dados foram coletados para X entre 1 e 5. Pedir X=8 significa extrapolar além do intervalo observado. Extrapolação é arriscada porque a relação linear pode não se manter fora da faixa dos dados; portanto, em geral, NÃO é recomendável usar o modelo para X=8{,}00.
  • Além disso, se alguém calcular a predição obtém:
\widehat{Y}= -0{,}023 + 0{,}163\cdot 8 = -0{,}023 + 1{,}304 = 1{,}281,
o que seria uma absorvância maior que 1 (impossível se absorvância é interpretada como fração até 1). Isso reforça que a predição para X=8{,}00 é absurda e não confiável.

Passo 10

Cálculo do coeficiente de determinação R^2 (item e) e interpretação.
  • Primeiro calcular S_{YY}=\sum (Y_i-\overline{Y})^2. Usando os desvios já listados:
S_{YY}=(-0{,}346)^2+(-0{,}156)^2+(0{,}024)^2+(0{,}174)^2+(0{,}304)^2.
Numéricamente:
S_{YY}=0{,}119716+0{,}024336+0{,}000576+0{,}030276+0{,}092416=0{,}26732.
  • Soma dos quadrados explicada pela regressão (SSR) pode ser obtida por SSR=b_1 S_{XY}:
SSR=b_1 S_{XY}=0{,}163\cdot 1{,}63=0{,}26569.
  • Erro residual SSE=S_{YY}-SSR=0{,}26732-0{,}26569=0{,}00163.
  • Coeficiente de determinação:
R^2=\frac{SSR}{S_{YY}}=\frac{0{,}26569}{0{,}26732}\approx 0{,}994.
Interpretação didática: cerca de 99{,}4\% da variação observada na absorvância Y é explicada pela variação na concentração X segundo o modelo linear ajustado. Ou seja, o ajuste linear explica quase toda a variabilidade dos dados — resta muito pouco erro residual.

Resposta

a) \displaystyle \widehat{Y}=-0{,}023+0{,}163\,X.
b) b_1=0{,}163: aumento de 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} na concentração eleva a absorvância média em 0{,}163 unidade.
c) Estimativa da concentração para Y=0{,}58: \displaystyle \widehat{X}\approx 3{,}70\\ \mathrm{mg/ml}.
d) Não; X=8{,}00 é extrapolação fora do intervalo observado [1,5] e a predição daria \widehat{Y}=1{,}281>1 (não plausível).
e) \displaystyle R^2\approx 0{,}994 (ou 99{,}4\% da variação de Y explicada por X).

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