(proposto por E.B., monitor em 2001). Pode-se determinar o teor de proteínas ( \mathrm{mg} / \mathrm{ml} ) no leite de uma forma indireta analisando-se a absorvância de luz, medida em um aparelho denominado fotocolorímetro. A absorvância consiste na fração da luz incidente que a amostra
é capaz de absorver. Por exemplo, uma absorvância de 0,70 indica que a solução absorveu 70 \% da luz incidente. Por razões históricas, este método é denominado Método do Biureto. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos em um teste com cinco amostras padrão, de concentração previamente conhecida.
Conc. (mg/ml)
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
Absorvância
0,12
0,31
0,49
0,64
0,77
Pede-se:
a) Ajuste a reta de regressão linear simples para estimar a absorvância ( Y ) em função da concentração de proteínas (X).
b) Interprete o valor da estimativa do coeficiente de regressão ( b_{1} ).
c) Para uma absorvância igual a 0,58 estime a concentração média de proteínas, em mg/ml (regressão inversa).
d) Pode-se utilizar o modelo ajustado em a) para se estimar Y quando X=8,00 ? explique.
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete.
Passo 1
O enunciado dá cinco pares de observações (X,Y), onde X é a concentração em \mathrm{mg/ml} e Y é a absorvância:
As perguntas são:
a) ajustar a reta de regressão simples para estimar Y em função de X;
b) interpretar o coeficiente de regressão estimado b_1;
c) para Y=0{,}58 estimar a concentração média X (regressão inversa);
d) pode-se usar o modelo para estimar Y quando X=8{,}00? Explique;
e) calcular o coeficiente de determinação e interpretar.]
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas básicas do ajuste por mínimos quadrados (modo didático e passo a passo).
Definições (para n pares (X_i,Y_i)):
Média de X: \displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
Média de Y: \displaystyle \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
Soma de quadrados de X: \displaystyle S_{XX}=\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2.
Estimadores de mínimos quadrados para a reta \displaystyle \widehat{Y}=b_0+b_1 X:b_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad b_0=\overline{Y}-b_1\overline{X}.
Explicação curta: b_1 mede a inclinação — quanto \widehat{Y} muda quando X aumenta uma unidade. b_0 é o valor estimado de Y quando X=0 (nem sempre interpretável fisicamente, depende do contexto).
Escrever a equação ajustada e comentar como usar na prova:
\widehat{Y}=b_0+b_1 X = -0{,}023 + 0{,}163\,X.
Na prova, memorize a forma \widehat{Y}=b_0+b_1X e calcule b_1 por \dfrac{S_{XY}}{S_{XX}} e b_0 por \overline{Y}-b_1\overline{X}. Sempre mostre as somas e as médias como fizemos.
Passo 7
Interpretação do coeficiente b_1 (item b), de forma didática:
O valor b_1=0{,}163 significa que, segundo o ajuste linear, um acréscimo de 1 unidade em X (ou seja, 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} a mais de proteínas) aumenta a absorvância média estimada em 0{,}163 (ou 16{,}3\% de absorção adicional, lembrando que a absorvância é uma fração).
Em linguagem de prova: “para cada aumento de 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} na concentração, a absorvância média aumenta em aproximadamente 0{,}163 unidade.”
Passo 8
Regressão inversa (item c): estimar X quando Y=0{,}58.
Fazer a inversão algébrica da reta estimada:
\widehat{Y}=b_0+b_1 X \quad\Rightarrow\quad X=\frac{\widehat{Y}-b_0}{b_1}.
Observação didática: essa é a estimativa da concentração média correspondente a Y=0{,}58. Em provas pode ser pedido também o intervalo de confiança para essa estimativa — aí seria necessário o erro padrão inverso. Aqui pediram só a estimativa pontual.
Passo 9
Avaliação do uso do modelo para X=8{,}00 (item d):
Os dados foram coletados para X entre 1 e 5. Pedir X=8 significa extrapolar além do intervalo observado. Extrapolação é arriscada porque a relação linear pode não se manter fora da faixa dos dados; portanto, em geral, NÃO é recomendável usar o modelo para X=8{,}00.
o que seria uma absorvância maior que 1 (impossível se absorvância é interpretada como fração até 1). Isso reforça que a predição para X=8{,}00 é absurda e não confiável.
Passo 10
Cálculo do coeficiente de determinação R^2 (item e) e interpretação.
Primeiro calcular S_{YY}=\sum (Y_i-\overline{Y})^2. Usando os desvios já listados:
Interpretação didática: cerca de 99{,}4\% da variação observada na absorvância Y é explicada pela variação na concentração X segundo o modelo linear ajustado. Ou seja, o ajuste linear explica quase toda a variabilidade dos dados — resta muito pouco erro residual.
Resposta
a) \displaystyle \widehat{Y}=-0{,}023+0{,}163\,X.
b) b_1=0{,}163: aumento de 1{,}00\\ \mathrm{mg/ml} na concentração eleva a absorvância média em 0{,}163 unidade.
c) Estimativa da concentração para Y=0{,}58: \displaystyle \widehat{X}\approx 3{,}70\\ \mathrm{mg/ml}.
d) Não; X=8{,}00 é extrapolação fora do intervalo observado [1,5] e a predição daria \widehat{Y}=1{,}281>1 (não plausível).
e) \displaystyle R^2\approx 0{,}994 (ou 99{,}4\% da variação de Y explicada por X).