Exemplo 2: Uma fonte DC de 100 V alimenta uma carga resistiva de 10 \Omega através de uma chave. Determine a potência fornecida para carga \left(P_{L}\right), a potência dissipada no reostato \left(P_{R}\right), a potência fornecida pela fonte \left(P_{T}\right) e a eficiência \eta, se a chave está:
a) Fechada;
b) Aberta;
c) Fechada por 50 \% do tempo;
d) Aberta por 20 \% do tempo;

Passo 1

O enunciado dá: uma fonte DC de 100\\ \text{V} alimenta uma carga resistiva de 10\\ \Omega através de uma chave. Pede-se para encontrar, em cada situação, a potência na carga \left(P_{L}\right), a potência dissipada no reostato \left(P_{R}\right), a potência fornecida pela fonte \left(P_{T}\right) e a eficiência \eta.
Informações relevantes (listadas claramente):
  • Tensão da fonte: \,V=100\\ \text{V}.
  • Resistência da carga: \,R_{L}=10\\ \Omega.
  • Existe um reostato (resistor ajustável) no circuito cuja resistência eu não tenho numericamente; vou chamá‑lo de \,R (em \Omega).
  • Há uma chave que, no esquema que vou usar (configuração padrão para esse tipo de problema), fica em derivação (em paralelo) com o reostato: quando a chave está fechada ela faz um curto que desvia a corrente do reostato (logo o reostato é praticamente bypassado); quando a chave está aberta a corrente passa pela série reostato + carga. Não foi enviada figura, então adoto essa configuração porque é a interpretação usual e necessária para poder resolver.
  • Casos pedidos:
    a) chave fechada (sempre fechada);
    b) chave aberta (sempre aberta);
    c) chave fechada 50\% do tempo (fechada metade do tempo, aberta metade);
    d) chave aberta 20\% do tempo (ou seja, fechada 80\% do tempo).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Potência em um resistor: para um resistor de resistência \,R_x percorrido por corrente \,I, a potência dissipada por efeito Joule é
P = I^2 R_x.
Alternativamente, se a tensão sobre o resistor for \,V_x,
P = \frac{V_x^2}{R_x}.
Essas fórmulas são equivalentes porque \,V_x = I\,R_x.
  1. Para resistores em série a corrente é a mesma em todos; para dois resistores em série R e R_L ligados a uma fonte V, a corrente é
I = \frac{V}{R+R_L}.
  1. Potência fornecida pela fonte: é a tensão da fonte multiplicada pela corrente fornecida,
P_T = V\cdot I.
Por conservação de energia elétrica (ignorando reativos, perdas não resistivas etc.), a potência fornecida pela fonte é a soma das potências dissipadas nos resistores:
P_T = P_R + P_L.
  1. Eficiência do sistema (fração da potência fornecida pela fonte que vai para a carga) é
\eta = \frac{P_L}{P_T}.
Se você quiser em porcentagem multiplica por 100\%.
  1. Quando a chave comuta entre dois estados (fechada/aberta) rapidamente, a potência média é a média ponderada temporal: se o estado A ocorre fração \alpha do tempo e o estado B ocorre fração 1-\alpha, a potência média é
\overline{P} = \alpha P_A + (1-\alpha) P_B.
A eficiência média do ciclo será \overline{\eta} = \dfrac{\overline{P_L}}{\overline{P_T}}.
Agora aplicamos essas fórmulas aos casos do enunciado.

Passo 3

Caso (a) — chave fechada (sempre): descrição física e cálculo direto.
Quando a chave está fechada e ela está em paralelo com o reostato, o curto faz com que praticamente toda a corrente passe pelo ramo da chave, desviando do reostato. Portanto o reostato não dissipa potência (assumimos chave ideal com resistência nula). O circuito efetivo é fonte diretamente sobre R_{L}.
Corrente no circuito:
I_{\text{fech}}=\frac{V}{R_{L}}=\frac{100}{10}=10\\ \text{A}.
Potência na carga:
P_{L,\text{fech}}=I_{\text{fech}}^{2}R_{L}=10^{2}\cdot10=1000\\ \text{W}.
Potência no reostato:
P_{R,\text{fech}}=0\\ \text{W}\quad(\text{o reostato está bypassado}).á
Potência fornecida pela fonte:
P_{T,\text{fech}}=V\cdot I_{\text{fech}}=100\cdot10=1000\\ \text{W}.
Eficiência:
\eta_{\text{fech}}=\frac{P_{L,\text{fech}}}{P_{T,\text{fech}}}=\frac{1000}{1000}=1 \quad\text{(ou }100\%\text{).}

Passo 4

Caso (b) — chave aberta (sempre): descrição física e cálculo simbólico em função de \,R.
Quando a chave está aberta, a corrente deve passar pela série reostato R e carga R_{L}=10\\ \Omega. A corrente é
I_{\text{abert}}=\frac{V}{R+R_{L}}=\frac{100}{R+10}.
Potência na carga (usar P=I^{2}R_{L}):
P_{L,\text{abert}}=I_{\text{abert}}^{2}R_{L}=\left(\frac{100}{R+10}\right)^{2}\cdot 10 =\frac{100000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência no reostato:
P_{R,\text{abert}}=I_{\text{abert}}^{2}R =\left(\frac{100}{R+10}\right)^{2}\cdot R =\frac{10000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência fornecida pela fonte (outra forma útil: P_T=V^2/(R+R_L)):
P_{T,\text{abert}}=V\cdot I_{\text{abert}}=\frac{100\cdot100}{R+10}=\frac{10000}{R+10}\\ \text{W}.
Verificação rápida (soma das potências dissipadas):
P_{L,\text{abert}}+P_{R,\text{abert}} =\frac{100000}{(R+10)^{2}}+\frac{10000\,R}{(R+10)^{2}} =\frac{10000(R+10)}{(R+10)^{2}} =\frac{10000}{R+10}=P_{T,\text{abert}},
está consistente.
Eficiência nesse caso:
\eta_{\text{abert}}=\frac{P_{L,\text{abert}}}{P_{T,\text{abert}}} =\frac{100000/(R+10)^{2}}{10000/(R+10)} =\frac{10}{R+10}.
Interpretação rápida: se R for muito pequeno (reostato quase curto), \eta se aproxima de 10/(10)=1; se R for grande, eficiência cai.

Passo 5

Casos com comutação temporal — regra geral e aplicação.
Se a chave fica fechada fração \alpha do tempo (e aberta fração 1-\alpha), as potências médias são as médias temporais:
  • Potência média na carga:
\overline{P_{L}}=\alpha\,P_{L,\text{fech}}+(1-\alpha)\,P_{L,\text{abert}}.
  • Potência média no reostato:
\overline{P_{R}}=\alpha\,P_{R,\text{fech}}+(1-\alpha)\,P_{R,\text{abert}} =\;0\cdot\alpha+(1-\alpha)\,P_{R,\text{abert}}=(1-\alpha)\,P_{R,\text{abert}}.
  • Potência média fornecida pela fonte:
\overline{P_{T}}=\alpha\,P_{T,\text{fech}}+(1-\alpha)\,P_{T,\text{abert}}.
  • Eficiência média do ciclo:
\overline{\eta}=\frac{\overline{P_{L}}}{\overline{P_{T}}}.
Agora substituímos os valores que já temos.

Passo 6

Caso (c) — chave fechada 50\% do tempo, ou seja \alpha=0{,}5.
Use P_{L,\text{fech}}=1000\\ \text{W}, P_{R,\text{fech}}=0, P_{T,\text{fech}}=1000\\ \text{W} e as expressões do caso aberto.
Potência média na carga:
\overline{P_{L}}_{\text{(c)}}=0{,}5\cdot1000+0{,}5\cdot\frac{100000}{(R+10)^{2}} =\;500+\frac{50000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência média no reostato:
\overline{P_{R}}_{\text{(c)}}=0{,}5\cdot\frac{10000\,R}{(R+10)^{2}} =\frac{5000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência média fornecida pela fonte:
\overline{P_{T}}_{\text{(c)}}=0{,}5\cdot1000+0{,}5\cdot\frac{10000}{R+10} =\;500+\frac{5000}{R+10}\\ \text{W}.
Eficiência média:
\overline{\eta}_{\text{(c)}}=\frac{500+\dfrac{50000}{(R+10)^{2}}}{500+\dfrac{5000}{R+10}}.
Essa fração pode ser simplificada numericamente se um valor de R for dado; mantemos em forma simbólica porque R não foi fornecido.

Passo 7

Caso (d) — chave aberta 20\% do tempo. Então fechada 80\% do tempo; \alpha=0{,}8.
Potência média na carga:
\overline{P_{L}}_{(d)}=0{,}8\cdot1000+0{,}2\cdot\frac{100000}{(R+10)^{2}} =\;800+\frac{20000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência média no reostato:
\overline{P_{R}}_{(d)}=0{,}2\cdot\frac{10000\,R}{(R+10)^{2}} =\frac{2000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}.
Potência média fornecida pela fonte:
\overline{P_{T}}_{(d)}=0{,}8\cdot1000+0{,}2\cdot\frac{10000}{R+10} =\;800+\frac{2000}{R+10}\\ \text{W}.
Eficiência média:
\overline{\eta}_{(d)}=\frac{800+\dfrac{20000}{(R+10)^{2}}}{800+\dfrac{2000}{R+10}}.

Passo 8

Pequenas observações finais e como usar estas fórmulas na prova (dica prática):
  • Se em algum exercício houver um valor numérico para R, basta substituir em todas as expressões do caso aberto e nas médias para obter números.
  • Se R=0 (reostato curto quando presente), as fórmulas do caso aberto convergem para o caso fechado (verifique os limites com cuidado).
  • Para obter eficiência em percentual, multiplique \eta por 100\%.
  • Lembrete prático: sempre calcule correntes primeiro (fácil de errar sinais/potências); então use P=I^{2}R para cada resistor e some para obter P_T.

Resposta

a) P_{L}=1000\\ \text{W}
a) P_{R}=0\\ \text{W}
a) P_{T}=1000\\ \text{W}
a) \eta=1 (ou 100\%)
b) P_{L}=\dfrac{100000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
b) P_{R}=\dfrac{10000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
b) P_{T}=\dfrac{10000}{R+10}\\ \text{W}
b) \eta=\dfrac{10}{R+10}
c) P_{L}=500+\dfrac{50000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
c) P_{R}=\dfrac{5000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
c) P_{T}=500+\dfrac{5000}{R+10}\\ \text{W}
c) \eta=\dfrac{500+\dfrac{50000}{(R+10)^{2}}}{500+\dfrac{5000}{R+10}}
d) P_{L}=800+\dfrac{20000}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
d) P_{R}=\dfrac{2000\,R}{(R+10)^{2}}\\ \text{W}
d) P_{T}=800+\dfrac{2000}{R+10}\\ \text{W}
d) \eta=\dfrac{800+\dfrac{20000}{(R+10)^{2}}}{800+\dfrac{2000}{R+10}}

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