Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo
e a imagem
. Para isso vamos usar:
- Núcleo é o conjunto das soluções de
. - Imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de
.
Passo 2
Para achar
Note que a segunda equação é
. Logo basta
Assim
Passo 3
Para achar
, observamos a matriz de
em relação à base canônica:
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de
. As colunas são
Perceba que
ou seja, ambas colunas são colineares. Portanto a imagem é de dimensão 1 e