Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(2 x-y,-8 x+4 y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x - y,\,-8x + 4y).
Queremos encontrar o núcleo \ker(T) e a imagem \mathrm{Im}(T). Para isso vamos usar:
  1. Núcleo é o conjunto das soluções de T(x,y)=(0,0).
  2. Imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Para achar \ker(T)\) resolvemos \[T(x,y) = (0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2x - y = 0,\\\\ -8x + 4y = 0. \end{cases}
Note que a segunda equação é -4\] vezes a primeira, pois \(-8x+4y = -4\,(2x-y). Logo basta
2x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2x.
Assim
\ker(T) = \{(x,2x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \{x\,(1,2)\mid x\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,2)\}.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}(T), observamos a matriz de T em relação à base canônica:
A = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ -8 & 4 \end{pmatrix}.
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -8\end{pmatrix}, \quad c_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.
Perceba que
c_2 = -\tfrac12\,c_1,
ou seja, ambas colunas são colineares. Portanto a imagem é de dimensão 1 e
\mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\{c_1\} = \mathrm{span}\{(2,-8)\} = \mathrm{span}\{(1,-4)\}.

Resposta

\displaystyle \ker(T)=\mathrm{span}\{(1,2)\}, \displaystyle \mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,-4)\}.

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