Dê exemplo, quando for possível, de transformações lineares T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} e T_{5}, satisfazendo:
T_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \operatorname{com} \operatorname{Im}(T)=\{(0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear T_{3}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja imagem seja apenas o vetor zero, isto é, \Im(T_{3})=\{(0,0)\}.
Esse é um exercício de espaços vetoriais e transformações lineares, em que usamos a caracterização de imagem por colunas da matriz associada.

Passo 2

Para que \Im(T_{3})=\{(0,0)\}, toda saída de T_{3} deve ser o vetor nulo. Em termos de matriz, a única forma de garantir que a combinação linear de quaisquer entradas (x,y,z) resulte em (0,0) é usar a matriz nula de tamanho 2\times3. Assim, definimos
T_{3}(x,y,z) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

Definindo
T_{3}\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \quad T_{3}(x,y,z) = (0,0),
temos \Im(T_{3})=\{(0,0)\}.

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