Dê exemplo, quando for possível, de transformações lineares T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} e T_{5}, satisfazendo:
T_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad \operatorname{com} N(T)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x=y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T_{4}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
cujo núcleo seja
N(T_{4})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x=y\}.

Passo 2

Lembrando que, para uma aplicação linear T,
N(T)=\{v\in\mathbb{R}^{n}:T(v)=0\}.
Queremos então uma fórmula para T_{4}(x,y) cuja única condição para dar zero seja x=y.

Passo 3

Definimos
T_{4}(x,y)=(\,x-y,\;0\,).
Essa regra é claramente linear (cada componente é combinação linear de x e y), e
T_{4}(x,y)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=y.
Logo
N(T_{4})=\{(x,y):x=y\},
como desejado.

Resposta

Um exemplo válido é
T_{4}(x,y)=(x-y,\,0).

Exercícios relacionados