EXEMPLO 8 Uma força é dada pelo vetor \mathbf{F}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}+5 \mathbf{k} move uma partícula do ponto P(2,1,0) para o ponto Q(4,6,2). Determine o trabalho realizado.
SOLUÇÃO O vetor deslocamento é \mathbf{D}=\overrightarrow{P Q}=\langle 2,5,2\rangle, portanto, utilizando a Equação 12, o trabalho realizado é
Determinar o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de P para Q.
Informação de unidades (fornecida no enunciado): se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho resultará em joules.
Passo 2
Calcular o vetor deslocamento \mathbf{D}=\overrightarrow{PQ} fazendo a diferença das coordenadas de Q e P.
Explicação didática: o vetor deslocamento aponta da posição inicial para a final; cada componente é simplesmente a diferença entre as coordenadas correspondentes (componente x, componente y, componente z).
Passo 3
Lembrar a fórmula do trabalho para força constante ao longo de um deslocamento retilíneo:
W = \mathbf{F}\cdot\mathbf{D}.
Aqui:
\mathbf{F} é o vetor força.
\mathbf{D} é o vetor deslocamento.
A definição do produto escalar (dot product) em componentes é:
Interpretação geométrica (útil para prova): \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Mas na prática de prova, calcular pelas componentes é o caminho mais direto.
Passo 4
Aplicar o produto escalar usando as componentes de \mathbf{F} e \mathbf{D}.
Como a força estava em newtons e o deslocamento em metros, a unidade de W é newton·metro, isto é, joule. Portanto o trabalho é 36 joules.
Passo 6
Checagem rápida e dica de prova: se quiser interpretar geometricamente, poderia calcular |\mathbf{F}| e a projeção de \mathbf{D} na direção de \mathbf{F} e usar W=|\mathbf{F}|\times(\text{projeção de }\mathbf{D}\text{ em }\mathbf{F})çã. Mas isso é mais trabalhoso; na prova faça sempre que possível o produto escalar por componentes — é simples e rápido.