EXEMPLO 8 Uma força é dada pelo vetor \mathbf{F}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}+5 \mathbf{k} move uma partícula do ponto P(2,1,0) para o ponto Q(4,6,2). Determine o trabalho realizado.
SOLUÇÃO O vetor deslocamento é \mathbf{D}=\overrightarrow{P Q}=\langle 2,5,2\rangle, portanto, utilizando a Equação 12, o trabalho realizado é
\begin{aligned} W & =\mathbf{F} \cdot \mathbf{D}=\langle 3,4,5\rangle \cdot\langle 2,5,2\rangle \\\ & =6+20+10=36 \end{aligned}
Se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho realizado é de 36 J .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Força constante \mathbf{F} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}.
  • Ponto inicial P(2,1,0).
  • Ponto final Q(4,6,2).
    O que o problema pede:
  • Determinar o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de P para Q.
    Informação de unidades (fornecida no enunciado): se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho resultará em joules.

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento \mathbf{D}=\overrightarrow{PQ} fazendo a diferença das coordenadas de Q e P.
\mathbf{D} = \langle 4-2,\;6-1,\;2-0\rangle = \langle 2,\;5,\;2\rangle.
Explicação didática: o vetor deslocamento aponta da posição inicial para a final; cada componente é simplesmente a diferença entre as coordenadas correspondentes (componente x, componente y, componente z).

Passo 3

Lembrar a fórmula do trabalho para força constante ao longo de um deslocamento retilíneo:
W = \mathbf{F}\cdot\mathbf{D}.
Aqui:
  • \mathbf{F} é o vetor força.
  • \mathbf{D} é o vetor deslocamento.
    A definição do produto escalar (dot product) em componentes é:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Interpretação geométrica (útil para prova): \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Mas na prática de prova, calcular pelas componentes é o caminho mais direto.

Passo 4

Aplicar o produto escalar usando as componentes de \mathbf{F} e \mathbf{D}.
\mathbf{F}=\langle 3,4,5\rangle,\qquad \mathbf{D}=\langle 2,5,2\rangle,
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W = \mathbf{F}\cdot\mathbf{D} = 3\cdot 2 + 4\cdot 5 + 5\cdot 2.
Detalhando cada termo:
3\cdot 2 = 6,\qquad 4\cdot 5 = 20,\qquad 5\cdot 2 = 10.

Passo 5

Somar os termos para obter o trabalho:
W = 6 + 20 + 10 = 36.
Como a força estava em newtons e o deslocamento em metros, a unidade de W é newton·metro, isto é, joule. Portanto o trabalho é 36 joules.

Passo 6

Checagem rápida e dica de prova: se quiser interpretar geometricamente, poderia calcular |\mathbf{F}| e a projeção de \mathbf{D} na direção de \mathbf{F} e usar W=|\mathbf{F}|\times(\text{projeção de }\mathbf{D}\text{ em }\mathbf{F})çã. Mas isso é mais trabalhoso; na prova faça sempre que possível o produto escalar por componentes — é simples e rápido.

Resposta

36\\ \text{J}

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